Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
(5.21) - уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, и
соответствующие инфинитезимальные операторы ехр Ai?3)Xexp (-tS's) можно
представить как дифференциальные операторы первого порядка по t и х.
Аналогичные утверждения справедливы для оператора S?2 -- Ж_2 -f Ж2 = i
(Д2 -f 'А (4 + 4))> который соответствует уравнению дДР = 2>2W, или
idtW = - Д2W- 74 (х\ 4- 4) W (5.22)
(уравнение Шредингера для репульсивного осциллятора), а также для
оператора Ж-2 - = i(A2 - xt/2) с соответствующим уравнением
вида дДЁ = (Ж-2 - или
idtW = -A2W + 42x{W (5.23)
(уравнение Шредингера для линейного потенциала).
2.5. Уравнение Шредингера (Idt + дхх + дуу)^ = 0 175
Эти замечания показывают в явном виде эквивалентность уравнений (5.2) и
(5.21) - (5.23). В самом анализе в качестве исходного уравнения мы взяли
уравнение (5.2), но, взяв любое другое из этих уравнений, мы получили бы
ту же самую алгебру симметрии (5.18).
Из табл. 12 видно, что, кроме координат 13-17, в сущности совпадающих с
координатами, рассмотренными в разд. 2.1, каждая система координат,
допускающая ^-разделение переменных, соответствует С?з-орбите, которая
содержит в точности один из гамильтоновых операторов 1Ж-% i9?3, i3?2 или
1(Ж~2- 9$\). Следовательно, каждая система координат, как и следовало
ожидать, связана с одним из этих четырех гамильтонианов. Бо* лее того,
замечания, относящиеся к соотношениям (1.29), (1.30), справедливы и
здесь: система координат, допускающая /?-раз-деление переменных для
задачи о свободной частице, соответствует системе координат, точно
допускающей разделение переменных для одного из трех других уравнений
Шредингера, а именно для того уравнения, гамильтониан которого диагонали-
зируется этой системой.
Рассмотрим пару коммутирующих самосопряженных операторов iЖ, 1?, где Ж з,
a S- симметрический квадратичный оператор в обвертывающей алгебре алгебры
^3. Эти операторы имеют общее спектральное разложение, т. е. имеется
полная система (обобщенных) собственных функций Д, ц(х) в L2(R2), причем
1Ж]j,, и = Я/х, ц, Sfx, [1 = цД, ц> (fx.ii' Д', н') = Да/бщц" (5.24)
где
00
(hh h2)= ^ hi (х)h2 (х) dxi dx2, hj e L2(R2) (5.25)
- 00
(cm. [98]). Теперь предположим, что 1Ж', Ж - еще одна пара коммутирующих
самосопряженных операторов, лежащих на той же (Д-орбите, что и пара (Ж,
S. Тогда, перенормировав в случае необходимости эти операторы, мы
получаем, что имеется некоторое g е G3, такое, что
Ж' = и(8)Жи(8-% <?' = U (g) SU (g_1).
Следовательно, спектральное разложение пары, отмеченной штрихами,
идентично спектральному разложению первой пары. В самом деле, для Д. t =
U (8) Я, ц имеем
гХ'Д, ц = ЯД, ч, SP'fx, ц = ц/а a, (fx,n,fx',n') = 6xx'&w'>(5.26)
a fx.ii образует полную о. н систему в L2(R2).
В дальнейшем мы часто будем прибегать к спектральному разложению пары \Ж,
S', где jjjf - один из четырех перечислен-
176 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
ных выше гамильтонианов. Однако во многих случаях мы можем использовать
унитарные операторы симметрии U(g) для того, чтобы построить
эквивалентную пару iX", 9", спектральное разложение которой вычисляется
значительно проще, а эта информация даст нам в результате спектральное
разложение исходной пары.
Чтобы продемонстрировать наши замечания на примере, рассмотрим оператор
Ж-2 = t'A2. Если {/*,, ц}- базис (5.24) обобщенных собственных функций
для пары Ж, 9, то {К, х) = =ехр (1Ж-2) fx, ц (х)} - соответствующий базис
обобщенных собственных векторов для операторов
К = ехр (1Ж_2) W ехр (- 1Ж_2), S = ехр (tЖ_2) 3 ехр (- 1Ж_2)
и Д, ц (t, х) - также решения уравнения Шредингера для свободной частицы
(5.2). Аналогичные рассуждения справедливы и для других гамильтонианов.
Это проливает свет на взаимоотношения между моделями группы G3 в случае
двух переменных (х) и в случае трех переменных (х, t).
Теперь вычислим в явном виде спектральные разложения пар коммутирующих
операторов, перечисленных в табл. 12. Начнем с орбиты Ос и модели в
случае двух переменных, т. е. определим спектральное разложение пары
операторов 9ъ = Ж-2- - Ж2, &\ + ЗШЬ Уравнения (5.24) имеют вид
[-дг + 0! + "ЪП t - V. (*"" - "\П f=ri-
Заметим, что эти уравнения допускают разделение в переменных *1, х2.
Сравнивая эти уравнения с (1.34), находим известный о. н. базис
собственных функций
L й = осп, rn (х) = (2m+nroi! m!)-1/2 ехр (- х . х/4) X
XHa(xJ^2) НМл/2), ц = - п-Ч2, h + n = m + ll2, П, m = 0,1,2,...,
(рСп, ш> ОСп'т') " " Ьпп'Ьтт') (5.27)
где Нп(х) - многочлен Эрмита.
Здесь можно непосредственно показать, что, вычисляя экспоненты операторов
(5.18), мы получаем глобальное унитарное неприводимое представление
группы G3. Действительно, из рекуррентных формул (2.28), (2.29), (2.33)
для многочленов Эрмита можно видеть, что операторы S'и 3?2, 9?з, действуя
на ос-базис, определяют унитарное представление алгебры sl(2,R), которое
является прямой суммой представлений из дискретной серии, а операторы W2
определяют унитарное неприводимое представление W2. Из работы Баргманна
