Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 72

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 122 >> Следующая

степенной ряд (7.23), получаем
Н2^т.п = (т-П+ 1) я_2^т," = "^т,"_ь
HZ??m,n = m'Vm-i,n, Н±1Ут,п = -п(т+ l)"4m+i,"_i.
НТ^Ш. п = д+Ь HtVm. а = - (п+ГП + 1) (т+ 1)'' Vm+i. ",
Я°'Рт. " = rnVm, Я°?т, " = (т + 2л + 1) Wm, п. (7.28)
Заметим, что первые шесть соотношений (7.28) точно соответствуют шести
дифференциальным рекуррентным формулам (Б.8) для функций iFi. Таким
образом, мы имеем рекуррентные формулы, определяющие действие алгебры
симметрии комплексного уравнения теплопроводности,
200 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Заметим также, что операторы Н+2, Я0, образующие базис подалгебры si
(2,1C) алгебры 9\, дают те же рекуррентные формулы для функций Лагерра,
что и операторы J±, J (см. разд. 2.4, формулы (4.9)). Это объясняется
тем, что уравнение (4.1) можно получить из уравнения (7.1), введя
полярные координаты и отделив угловую переменную. Следовательно, все
результаты разд. 2.4 можно получить как частные случаи результатов,
относящихся к решению уравнения (7.1).
Кроме того, ббльшая часть гл. 4 работы [83] автора настоящей книги
посвящена соотношениям для функций Лагерра, получаемым при исследовании
подалгебры алгебры 91 с базисом {ЯIi, Ht, Н\ Но) и соотношениями
коммутирования (Я*1=Я*, •= н°) вида
[Я0, Я±]-=±Я±, [Я+, Я"] = Я0, [Я0, Я] ¦= 0. (7.29)
(См. также работу [77].) Итак, совершенно очевидно, что теория
специальных функций, связанная с рассматриваемым нами уравнением
теплопроводности, изобилует полезными результатами. Мы приведем здесь
всего лишь несколько примеров, иллюстрирующих связь между операторами
симметрии этого уравнения и тождествами, которым удовлетворяют решения с
разделенными переменными.
Легко видеть, что основная производящая функция (4.11) для многочленов
Лагерра появляется в том случае, когда решение ехр(ссЯ2)Ф-2/-1,о
комплексного уравнения теплопроводности определяется двумя различными
способами. Подобным образом, если мы применим оператор ехр(аЯГ) к
базисной функции Фт, о(т, s, z) sm и воспользуемся рекуррентной формулой
ЯГФ/.п(tm) (п + 1) Ф/-1, л+1 и соотношением теории Ли
ехр (аЯГ) Ч* (т, s, z) = ехр (- xza/s) W (т, s + ат, z [1 + "т/s]), то
получим производящую функцию
СО
е-"г(1 + "Г- 1а"№-">(г), теС, |а|<1. (7.30)
л-0
(Здесь мы полагаем т s и в обеих частях этого выражения выносим за скобки
множитель sm.)
Комбинируя (7.21) с (7.4) - (7.7), можно получить формулу, определяющую
действие локальной группы симметрии G3 в координатах т, s, z. В
частности, преобразование Аппеля имеет простой вид
Т (Ло) Ф (т, s, г) = х~1егф(-г-1, -z), (7.31)
S.7. Уравнение теплопроводности (dt - дХ1 - дуу) Ф = 0 201
Применяя этот оператор к базисной функции 'Fm, ", определяемой выражением
(7.23), где m, п е jCj и m не является отрицательным целым числом,
получаем
т (Л§) Vm. П - (-1Г r-m~n~ lsme* | - * ).
Это выражение является общей собственной функцией оператора Н° и
оператора М с собственными значениями -m - 2п - 1 и im соответственно.
Кроме того, при z ==¦ 0 правая часть последней формулы является функцией,
аналитической по г. Следовательно, существует некоторая константа ст, ",
такая, что
Т (.До) 'Km, п " Cm, п'К/п, -т-п-1-
Полагая в обеих частях этого равенства z =* 0, получаем соотношение ст, "
= (- 1)п, или
( -п \ / т + п+ 11 \
e*'f'L+i "+\ 14 <7-32>
Последнее выражение является важной формулой преобразования функции ifi,
которая рассматривается в приложении Б.
Уравнение теплопроводности можно представить в виде (Я_2 - Pi - Р2)Ф = 0,
или, что то же самое, в виде уравнения
{Н-2 + HtiHZi) ф = 0. Из (7.25) следует, что в координатах
(т, s, z} это уравнение принимает вид
(;гдгг + (sd,-г+\)дг + тд,) Ф = 0. (7.33)
Применив метод Вейснера, можно видеть, что любое решение Ф уравнения
(7.33), аналитическое по переменным т, s, z в некоторой области, такой,
что Ф можно разложить в ряд Лорана по т, s в окрестности т = 0, s = 0 и
что Ф(т, s, 0) ограничено в этой области, должно удовлетворять тождеству
Ф (т, s, г) = ? от L(tm) (z) тnsm, (7.34)
т, п '
где ст,п - комплексные константы. Наоборот, равномерно сходящийся ряд
вида (7.34) в некоторой области пространства (т s, г) определяет решение
комплексного уравнения теплопроводности. Мы приходим к выводу, что любую
производящую функцию вида (7.34) можно получить как решение уравнения
теплопроводности. Один из способов нахождения таких функций Ф состоит в
том, чтобы определить их как общие собственные функции пары коммутирующих
операторов в обвертывающей алгебре алгебры S%. Например, уравнения {Ви
Р,}Ф = (4а + 2)Ф, Я°Ф =* (Л + 1) Ф, а.КтС, (7.35)
202 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
соответствуют координатам и, v, w, которые определяются соотношениями
u = T_1/2(s + xz/s), v - х~ш{- s + tz/s), w = x (7.36)
(см. строку 10а табл. 13). В этих новых координатах мы имеем
Н° = 2wdw + 1, {В" Я,} = - 8 (дии - Чщдв - '/О
и решения ФаХ уравнений (7.35) можно записать в виде ф". * = w^2U(u) У
(и), причем
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed