Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
При помощи выражений, аналогичных (5.10) и (5.11), локальную группу Ли
U'i операторов симметрии Т можно представить в виде полупрямого
произведения W2 и SL(2, R)X 50(2).
Здесь необходимо указать в явном виде частный случай формул (7.5), когда
А = 2-"!(_1 !). -4S = (i °),
а именно случай
Т(Л0)^(/, х) = ехр[-^(1+0"1х-х]1^тЧ?(-{^|, V+rx), Т (Al) W (t, х) = ехр ^
х • х] Г V (- Г1, Г'х),
Т(Л^(/,х) = -?(/,-х) (7.7)
(где Т (Ло) - преобразование Аппеля [4,14]), который будет полезен нам в
дальнейшем.
Задача ^-разделения переменных для уравнения теплопроводности (7.1)
аналогична задаче для уравнения Шредингера для свободной частицы (5.2), и
результаты, получаемые в этих задачах, подобны [55]. Решения уравнения
(7.1) с ^-разделенными переменными имеют вид
Ф(/, х) = ехр[52(ц, v, w)] U (и) V (v) W (до), 52 вещественно, (7.8)
где либо #2 s= 0, либо 52 Ф 0 нельзя записать в виде суммы 52 - А (и) + Д
(ц)+С(ш). Необходимо, чтобы система {и, v, w) была вещественной
аналитической системой координат, такой, чтобы подстановка (7.8) в (7.1)
сводила это дифференциальное уравнение в частных производных к трем
обыкновенным дифференциальным уравнениям, причем каждому из множителей U,
V, W должно соответствовать одно уравнение. Две системы координат
считаются эквивалентными, если в результате сопряженного действия группы
G3 из одной системы можно получить другую.
В работе [55] указывается, что каждому случаю ^-разделения переменных для
уравнения (7.1) можно поставить в соответствие пару дифференциальных
операторов Я, 5, таких, что
1) Я и 5 являются операторами симметрии уравнения (7.1) и [Я, S] =0;
2) Яе?з, т. е. Я - оператор первого порядка по Х\, х2 и t;
3) 5 - оператор второго порядка по х\, х2 и не содержит членов с dt.
Процедура ^-разделения переменных определяется системой уравнений
<ЗФ ==0, Я Ф = ik Ф, 5Ф = рФ, (7.9)
27. Уравнение теплопроводности (dt •- дхх - дуу)Ф = 0 191
где собственные значения X, ц- обычные константы разделения для решений Ф
с ^-разделенными переменными.
Из этих замечаний следует, что 5 можно всегда представить как
симметричную квадратичную форму от В/, Р/, ? и М. Возможные системы
координат и их характеристики представлены в табл. 13.
Для каждой системы координат, представленной в табл. 13, имеет место
соотношение w = t и решение с разделенными переменными от переменной w
является экспоненциальной функцией. В последнем столбце таблицы сначала
дается решение от переменной и, а затем решение от переменной и. Функции
ангармонического осциллятора являются решениями дифференциального
уравнения вида
f" (и) + (Хи2 + сш4 - Р) / (ц) = 0. (7.10)
С точки зрения группы симметрии галилеевых преобразований и растяжений
существуют 26 различных систем координат. Если же учитывать только бз-
симметрию, то мы имеем всего лишь 17 систем. Легко показать, что две
системы, обозначения которых различаются только верхними индексами, лежат
на одной и той же бз-орбите. В самом деле, системы вида Fa1 и Fa2 либо
вида Lax и La2 связаны оператором Т (Ао), определенным в (7.7), а системы
вида Ral и Ra2 связаны оператором Т(А0). Только эти системы и являются
эквивалентными относительно Gi
Для рассматриваемого нами уравнения особый интерес представляют
собственные функции коммутирующей пары Н°, М2. Из табл. 13 видно, что
соответствующие собственные функции разделяются в переменных и = [(х2 +
y2)/t]1/2 = rH/2, и = 0, w = t, где х - г cos 0, у = г sin 0. Кроме того,
решения Фт, п (t, xl уравнения теплопроводности (ограниченные в точке х =
0), удовлетворяющие соотношениям
Н0Фт,п = ('п + 2п+ 1)ФОТ,", МФт, п = тФт, п, (7.11)
п = 0, 1, 2....... tn = n, п - 1 п,
можно представить в виде многочленов Лагерра
Фт, " (L х) = f {reib)m L'm) (- г2К4/)). (7.12)
Анализ разложений решений уравнения теплопроводности по многочленам
Лагерра можно найти в работах [28] и [135].
Известно, что если f(x)-ограниченная непрерывная функция, определенная в
плоскости R2, то существует единственное решение Ф(/, х) уравнения
теплопроводности, ограниченное и непрерывное по (t, х) для всех хеК2, t ^
0, непрерывно дифференцируемое по t, дважды непрерывно дифференцируемое
по
Таблица 13
ОПЕРАТОРЫ И КООРДИНАТЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ^-РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
(dt - дхх - двв) Ф = О
Операторы Я, & Координаты {и, v, w) Множитель Решения с
разделенными переменными
1а Fc1 х - uw Ж = - (и2 + v2) w/4 Экспоненциальная функ-
н2, в\ у = X)W ция
Экспоненциальная функция
16 Fc2 х = и 0 Экспоненциальная функ-
"-2. y = v ция
Экспоненциальная функция
2а Frl х = uw COS V - u2w/ 4 Функция Бесселя
Н2, М2 у = uw sin v Экспоненциальная функция
26 Fr2 X = U COS V 0 Функция Бесселя
н_2, М2 у - и sin v Экспоненциальная функ-
ция
За fp' x = (и2 - v2) w/2 - (U2 + V2)2 w/16 Функция
параболическо-
Н2, {В2, М) у = uvw го цилиндра Функция параболического
цилиндра
36 РР2 x = (u2 - v2)/2 0 Функции параболическо-
я_2, {Р2, М} y = uv го цилиндра
