Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
списком орбит, поскольку определенные пары орбит группы симметрии
галилеевых преобразований и растяжений позволяют вычислить допускающие
разделение переменных координаты, отличающиеся только знаком параметра.)
Однако две системы координат можно считать эквивалентными, если под
действием некоторого g^Gз первую систему можно преобразовать во вторую. С
точки зрения операторов система координат, описанная операторами К, S,
эквивалентна системе координат, описанной операторами К', S', если в
результате сопряженного действия группы Gz на обвертывающую алгебру
алгебры Зг двумерное пространство, натянутое на К, S, может быть
отображено в двумерное пространство, натянутое на К', S'. Согласно этому
более общему отношению эквивалентности, не все из 26 вышеуказанных систем
координат являются неэквивалентными. В самом деле, системы координат,
обозначенные через АЬ1 и АЬ2, принадлежат одним и тем же двумерным
орбитам; следовательно, имеется только 17 классов неэквивалентных орбит.
(Для удобства в приложениях представители орбит 5, 6, 13, 14 содержат
параметры а, Ь. При помощи симметрии растяжения некоторые из этих
параметров можно нормировать так, чтобы они приняли значение ±1.)
') Первые буквы английских названий: free particle, linear potential,
harmonic oscillator, repulsive oscillator соответственно. - Прим. перев.
г) Первые буквы английских названий: Cartesian, radial, parabolic,
elliptic соответственно. - Прим. перев.
2.5. Уравнение Шредингера (idt + дхх + дууУУ = 0 173
Эти эквивалентности можно описать при помощи оператора J = ехр[л(/(2 -
/С-2) /4]:
/ф (*>х)=тгттгехр I/0 + /г' Х
ХФ(щ, V2"(/ + I)-1 х) , ФеГ. (5.16)
Заметим, что J2 = ехр [л(/(2- /С-2)/2] и что
/3Ф((, х) = Г'ехр[гх • х/4/]ф(-Г1, Г'х), ,g j-РФ((, х) = - Ф (/, -х),
РФ((, х) = Ф (/, х).
Легко показать, что J (К-2 + Kz)J~l = D, и, анализируя сопряженное
действие оператора J на операторы второго порядка, можно доказать, что
три системы координат Re2, Rr2 и Re2 эквивалентны относительно J трем
системам Rc', Rr1 и Re1 соответственно.
Обозначая сопряженное действие оператора Я на К е 'Зг через К'= J2KJ~2,
находимP'j = - В], Bj = Pj, К-2- - Д'г, Кг = = -К-2, D' = -D, М' = М, Е'
= Е, откуда следует, что шесть пар вида Fa1, Fa2 или La1, La2
эквивалентны относительно J2.
Теперь покажем, что операторы (5.3) можно представить как алгебру Ли
кососимметрических операторов в гильбертовом пространстве Т2(Д2)
комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу в
плоскости. Для этого предположим, что t - фиксированный параметр, и
заменим в формулах
(5.3) dt на i (дх,х, + dXlX2). Тогда легко показать, что получающиеся в
результате операторы, умноженные на i и ограниченные на множество
бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в R2, имеют
единственные самосопряженные расширения. Действительно, эти операторы
являются вещественными линейными комбинациями операторов
X, = i(x\ + x р/4, Ж_, = 1(дт + дх^,
<%i = ixi/2, J( = х id Xl - x2dXt, & = i, (5.18)
3d = x idx, + x2dXl + 1 > /=1,2.
Заметим, что при t = 0 операторы (5.3) сводятся к виду (5.18). Таким
образом, операторы (5.18) удовлетворяют тем же соотношениям
коммутирования (5.4), что и операторы (5.3). Например, выполняется общее
тождество
ехр (1УС_2) УС ехр (- /<Ж_2) = К, (5.19)
которое связывает операторы УС (5.18) и К (5.3). Здесь ехр(^_2) -
унитарный оператор в Т2(Д2), соответствующий сдвигу по времени в задаче о
свободной частице. В [67] пока-
174 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
зано, что
ОО
ехр (аЖ_2) f (х)=1. i. ш. (4лш)-1 jj jj ехр [-(x~fly-] f (у)dy{dy2,
-оо \ * /
f е L2 (R2).
Если f^L2(R2), то можно показать, что W(t,x) = - exp(tX-2)f(x)
удовлетворяет уравнению cW = Ж-^, или уравнению id№ = -Дг'Е (почти для
всех t), каждый раз, когда f находится в области определения оператора Ж-
2 и XF(0, х) = = /(х). Кроме того, унитарные операторы ехр(аК) = =;= ехр
ДХ_г)ехр (аЖ)ехр (-tЖ-2) отображают функцию Ч* в функцию Ф = ехр(аК)Чг,
которая также удовлетворяет уравнению г<ДФ = -ДгФ для каждой линейной
комбинации Ж операторов (5.18). Таким образом, операторы ехр(аК) являются
операторами симметрии уравнения (5.2).
Ниже мы увидим, что операторы (5.18) порождают глобальное унитарное
неприводимое представление группы G3 в L2(R2). Принимая во внимание этот
факт, будем считать, что U(g), gе G3, суть соответствующие унитарные
операторы, и положим T(g) = ехр ДХ_2) U (g) ехр (-ty?-2). Отсюда следует,
что T(g) являются унитарными операторами симметрии соотношений
(5.2) с соответствующими инфинитезимальными операторами К = ехр (1Ж-2)Ж
ехр {-tX-2),
Теперь рассмотрим оператор 2>3 = Ж _2 - Ж2 = i [Д2 - -'А (*? + *г)]- Если
f <= L2(R2), то W(t, х) = exp(^3)f (х) удовлетворяет уравнению дДР =
З'з'У, или уравнению
idtW = - Д2^ + 'A (Jt? + 4) W, (5.21)
и условию 4я (0, х) = f (х). Аналогичным образом унитарные операторы V
(g) = expAi?3)U(g) ехр(-tS'z) являются операторами симметрии уравнения
