Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
2U" - uU' + aU = 0, 2V" + vV' + (а - А) У = 0. (7.37)
Сравнивая эти уравнения с (2.24) и (2.25), находим независимые решения
На(и/2) и exp(u2/4) H-a-i (tw/2) для U, а также H-K-a(iv/2) и ехр(-v2/4)
Ha-K-\(v/2) для V. Для определенности выберем решения следующего вида:
Ф"' *¦ (и, v, w) = юшНа (и/2) ЯА_а (iv/2). (7.38)
Переходя в выражениях для операторов симметрии (7.25) алгебры к
координатам и, v, w и применяя затем эти операторы к функциям (7.38),
можно получить семейство простых рекуррентных формул, которым
удовлетворяют произведения функций Эрмита. Применим метод Вейснера к
производящей функции (7.38) в случае, когда А и а, а ^ А, являются целыми
положительными числами. В этом случае функции Эрмита, входящие в (7.38),
являются многочленами Эрмита. Из (7.34) и (7.36) получаем
Т[2-1Ц- % + т"ЗД] [а-' (- + т'ЭД=
К
sl'2ti'ctL<,''M)(z). (7.39)
(Чтобы получить этот результат, мы воспользовались тем фактом, что На(х)-
многочлен порядка а и что На(-х)== = (-1 )аНа(х).) Полагая х = st-1^2,
находим
На [2-1 (х + z/x)] ЯА_а [t'2_1 (~х + z/xj\ =
X
= ? х^сМ^ (z). (7.40)
.4-0
Для того чтобы найти простую производящую функцию для коэффициентов Ck,
мы полагаем z = 0 и используем тот факт, что
(т) п С m + п\
Ln (0) = I I, где I I-биномиальный коэффициент
2.8. Заключительные замечания 203
(Б.1):
на (Х/2) Я,_а (- ix/2) = (7-41)
ft-О ^ k '
Вычислив в явном виде коэффициенты при xx~2k в левой части этого
равенства, можно представить с* в виде конечного гипер-геометрического
ряда 3EV
Полиномиальные функции (7.38) можно использовать как еще один (но менее
полезный) базис для решений уравнения теплопроводности. Следовательно,
можно вычислить матричные элементы групповых операторов T(g) по этому
базису, разложить произвольное решение Ф по элементам этого базиса и т.
д.
Если К и а - комплексные числа, то можно получить тождества в виде
бесконечных рядов, аналогичные (7.40), но несколько усложненные.
2.8. Заключительные замечания
В заключение этой главы укажем (не проводя подробного анализа) несколько
важных результатов, тесно связанных с рассматриваемым нами вопросом.
В статье [39] Винтернитц, Смородинский, Улир и Фриш определили все
потенциалы V(x,y), такие, что не зависящее от времени уравнение
Шредингера
(~A2 + V(x, у))Ф = ХФ (8.1)
допускает некоторый оператор симметрии первого или второго порядка. Они
показали, что возможные операторы симметрии имеют вид L + f (х, у), где L
<= & (2) (см. (1.6), (1.7) разд. 1.1), для симметрий первого порядка и
вид 5 -+- f(x,y), где 5 - симметрический оператор второго порядка в
обвертывающей алгебре алгебры <о{2), для симметрий второго порядка. В
уравнениях, допускающих симметрии первого порядка, переменные разделяются
в соответствующих системах координат (2.31) или
(2.32); см. разд. 1.2. Уравнения, не допускающие симметрий первого
порядка, но допускающие симметрии второго порядка, разделяются в одной из
четырех систем координат, перечисленных в Табл. 1. Последние уравнения
относятся к классу II. Следует заметить, что. при рассмотрении этого
вопроса появляется алгебра Ли & (2), хотя она и не является алгеброй
симметрии уравнения (8.1), за исключением тривиального случая, когда
V{x,y)-постоянная величина. Появление S'(2) объясняется тем, что члены L
и S операторов симметрии первого либо второго порядка уравнения (8.1),
содержащие операторы диффе-
?04 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
ренцирования, обязательно коммутируют с оператором Лапласа А2; поэтому из
результатов, приведенных в разд. 1.1, следует, что L и S должны
принадлежать обвертывающей алгебре алгебры &{2). Однако весь оператор
симметрии, как правило, не будет принадлежать обвертывающей алгебре
алгебры ё(2), поскольку функциональная часть f(x,y) этого оператора не
будет ни нулем, ни даже постоянной величиной. Здесь f(x,y) будет зависеть
от потенциала.
Так же как в разд. 1.1, разделение переменных, соответствующее симметриям
первого порядка, выполняется довольно тривиальным образом. Интерес
представляют уравнения класса II, допускающие симметрии второго порядка и
не допускающие ни одной нетривиальной симметрии первого порядка. Такие
уравнения допускают разделение переменных в одной или более из четырех
систем координат, перечисленных в табл. 1. Каждая система координат,
допускающая разделение переменных, определяется чисто дифференциальной
частью оператора симметрии, т. е. той его частью, которая принадлежит
обвертывающей алгебре алгебры <В(2). Таким образом, в результате
появления оператора Дг в (8.1) может быть не более четырех систем
координат, допускающих разделение переменных для этого уравнения. Будут
или не будут разделяться переменные для заданного уравнения (8.1),
зависит от явного вида потенциала V. Установлено, что (8.1) разделяется в
одной из четырех указанных выше систем координат тогда и только тогда,
когда это уравнение допускает симметрию второго порядка S-\-f(x,y), где
