Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
[11, 120] следует, что это представление алгебры Ли расширяется до
глобального
2.5. Уравнение Шредингера (idt + дхх + дуУ)л? = 0 177
представления группы G3, которое неприводимо, поскольку его ограничение
до W2 также неприводимо.
Теперь вычислим унитарные операторы U (g) в L2(R2). Операторы
U (w, z, р) = ехр (w^i) ехр {z\(P^ ехр (ш2$2) ехР fe^2) ехр (р#),
определяющие неприводимое представление группы W2, будучи примененными к
функции Л(х), дают
U (w, z, р)Л(х) = ехр(/р + <w • х/2) Л (х + z), h^L2(R2). (5.28)
Оператор U(0) = exp(0^), будучи примененным к функции Л(х), дает
U (0) Л (х) = Л (х0), (5.29)
где 0 определяется в (5.8). Операторы U(A), А е SL(2,R), вычисляются
значительно сложнее. Мы имеем интегральный оператор exp(aJ^_2),
определяемый в (5.20); кроме того, нетрудно получить следующие
соотношения:
ех р (ЬЖ2) h (х) = ex р (ibx • х/4) h (х), ех р (сЗУ) h (х) = ech (есх).
(5.30)
Выполняя групповое умножение в SL(2,R), получаем следующее соотношение:
ехр (фЗ'г) - ехр (th (ф) Ж2) ехр (sh (ф) ch (ф) Ж_2) ехр (- In (ch ф)
ЗУ), откуда
ехр№)Мх)=а^Ж^Х
ОО
X hi.m. J $ехр|д(-- х-у + сЛ(ф)уу)]л(у)^1^2,
Ф^О. (5.31)
(Сокращение I. i. ш в этой и двух последующих формулах является
общепринятым.) Аналогичные вычисления дают
exp(8g,)/.W- X
ОО
X I.i.m. J 5exp[^(--iI|rx.y + ctg(0)y-y)]/l(y)di/ldi/2,
0 ф пп, (5.32) ехр [р (ЯГ_2 + аЯд] h (х) = ^К^-^Р3/12)] х
оо
X l.i.m. J J ехр { [(х1 - ap2 - yxf + (*? - г/г)2]} h (у) dyx dy2,
р ф 0. (5.33)
178 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
2.6. Базисы и матричные элементы смешанных базисов для уравнения
Шредингера
Из (5.20) и (5.27) следует, что базисные функции осп, m (х) отображаются
в о. н. базисные функции Ocn,m(t,x) - = ехрЦЖ~2)осп, т(х), которые
являются решениями уравнения Шредингера и имеют вид
Осп, т ((, х) =
= (Г*"*'кпЫ\)техр['"<'"+"-¦> _ + <¦-'">] Х
X(-Ш-)1""" (^-.Г'яДм/УЛяДо/УЮ, (е.1)
причем
хх - и (1 + до2)1/2, x2 = v(l + ш2)1/2, t = w.
Функции (6.1) соответствуют допускающей разделение переменных системе
координат Ос из табл. 12.
Вычислим спектральное разложение для системы координат Or,
г(Х_2-Х2)/^Я/, Jf2/ = p/.
Базис собственных функций имеет вид
ог+ (х) = [т!/2тя(" + т)!]1/2ехр(-г2/4) гт L*m) (r2/2) cosmO,
• (6.2) or~im(x) = tg(ne)or^m(x),
где т, ti - целые числа, т 1, " 0, и xi = г cos 0, х2 = г sin 0.
Собственные значения X и ц связаны с m и п соотношениями Я, = 2/z + m +
1, ц = -т2. При т = 0 имеется добавочный собственный вектор
0/-+ 0 (х) = (2/пп\у12 ехр (- Л2/4) Lf> (г2/2), (6.3)
где Lna) (г) - многочлены Лагерра. Соотношения ортогональности
записываются так:
(orl т> ort' е> е'=±.
\ пу nt п , tn / ее rtrt mm 7 7
Базисные функции Orn, m(t, x) = exp(tX-i)orn, m(x) от трех переменных
определяются соотношениями
0г+ а х) = к(--____________У/2-n t)ml2+n у
"¦т1, ; \я32т (п + от)1 / 22т (w - ,)т,2+п+1 Х
ч. Г ы2 (ш - 1) 1 , т / к! \
Хехр^-^--------| Ln (^-K-jcosmy,
0rn, т Х) = te (ОТ0) т (*• Х)> т ^ 1 • (6-4)
2.6. Базисы и м. э. с. б. для уравнения Шредингера 179
При т = О имеем K = V2; в противном случае /С = 1. Кроме того,
хх = (1 + ш2)1/2и cos v, х2 = (1 + w2)ll2u sin v, t = w.
В уравнениях для системы координат Ое
1(Ж_2-Ж2)\ = Х\, =
переменные разделяются в эллиптических координатах х\ = = ch ? cos т|, Х2
= sh ? sin ту Мы получаем о. и. базис
оер, m(x) = n~lflcp (гХ> 7г)ЛСр (Л> '/г).
оер. т (х) = (it,, '/г) hs(tm) (л. '/г), ^
где
he(tm) (л, 7г) = ехр (-V4 cos 2ц) С(tm) (л, '/г).
hs(tm)(ту 7г) = ехр (-V4 cos 2r|) S? (л> 7г),
а т, р - целые числа, причем 0 ^ т ^ р, (-1)т-Р = 1. Связь X и р с р и т
определяется соотношениями Х = р-\- 1, р = =А/2-|-а(tm) (1/2) или р = Х/2 +
Ь(tm)(1/2)\ соотношения ортогональности имеют вид
(oelm> = е, е' = ±.
Функции Ср (ту ?), S(tm) (г), ?) являются многочленами Айнса [7], т. е.
полиномиальными решениями уравнения Уиттекера - Хилла
¦^¦ + ?з1п2л-^- + (а -p?cos2ti)o = 0 (6.6)
с периодом, равным 2зт. Обстоятельный анализ ?того уравнения был выполнен
Арскоттом [8], и условные обозначения для решений и собственных значений,
которые мы здесь используем, принадлежат именно ему. Через С(tm) (ту ?)
обозначаются многочлены порядка р от cos ту соответствующие собственным
значениям а = а(tm)(?), через S(tm) (ту ?) - многочлены порядка р от sin ту
соответствующие собственным значениям a = b(tm)(t).
Базисные функции OePi m(t, х) = ехр (1Ж~2)дер, m(x) от трех переменных
определяются соотношением
Овр, т (/, х) = (X(tm)+/n)exp[iay(sh2" + cos2n)/4] X
X (w - tfm+l (w + i)~pl2 he(tm) (iu, 72) he(tm) (v, y2), (6.7)
где
xx = (1 + w2)1/2chu cos v, xs = (1 + w2)1^ sh и sin v, t = w.
180 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Чтобы определить Oe~m(t, х), в формуле (6.7) следует заменить фазовую
постоянную А(tm)+, |Ар + |=1, на А(tm)-, а функции Ас(tm)(т], ?) - на hs(tm)(r\, ?).
Зная явный вид многочленов Айнса,
можно вычислить константы А^1*. Заметим, что формула Оер, m =
ехр(/Х_г)оер, m является нетривиальным соотношением, которому
