Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Этот базис представляет особый интерес, но определение таких м.э.с. б.
связано с применением гильбертова пространства Баргманна - Сегала
аналитических функций, рассматривать которое мы не будем. Подробные
результаты можно найти в работе [24]; там же дается анализ интересной
связи между многочленами Айнса и теорией представлений алгебры SU(2). Для
большинства остальных базисов мы даем м.э.с.б. с одним из дискретных
базисов ос или or. (Принцип, по которому строятся нижеследующие
вычисления, очевиден, поэтому все остальные м.э. с. б. читатель может
определить сам.)
</сY, а> ornm) = Уш°гпт (Y cos "> Y sin a);
(6.30)
0, если p ф±пг\
если берется знак + и р = ± пг Ф 0;
если берется знак - и р = ±тф0;
если р = т = 0;
X ехр [- т -Цр-] (ат ± a_J;
{fp^,or±\ - /fo+.or^ \:
2.6. Базисы и м. э. с. б. для уравнения Шредингера 187
/¦'/2+^, Va+Wl \ /Г (У2 - г"
Лз Л т+гц + 1 j ) Г(т-/ц+1)А
/ V2 - fyi> V2 "Ь ш I 41
хл( |-l)JS (М2)
(К.p. <"> = e<rtO +(-'Г-)<[2"^+-;),]'вХ
X ехр (-Z4^-) Y mL(n] (х); (6-33)
здесь 0 (х) = 1, если х ^ 0, и 0(х) = О в противном случае. Подобное
выражение для <feY,р, orJm> получается при замене в (6.33) 0(р) на 0(-р)
и Арт на Врт. Здесь Арт, Вт-коэффициенты в разложениях в
тригонометрические ряды четной и нечетной функций Матье соответственно.
Кроме того,
р. осп, т) = ехр (- р2/4) (2т~ 'ш!) 1/2 Нт (р/л/Т) Сп, (6.34)
где константы Сп определяются из соотношения
22/3 ехр [-г (7б+Я.+Р2/4-Ь д/2г/)] Ai [22/3 (74-/Я-/р2/4-г (2у)1/2)] =
= Z[((201/2№]c"
и все величины нормированы таким образом, что а = -1;
(lex, р. 1рц,п) = (1а|)_1Л"(р)б[(Я - р)/а], (6.35)
(гс^+, осп> т> = л"2 (2m+fl+3n!m!)"1/2 (6.36)
где
г+а-1,г (а/2+ ,/4) г ((т+ ,)/2) ^ (-W2, й/2+1/4 j 2 -J
т четное
2т+Д+Т (/Я/2 + 1/4) Г (т/2) 2Г1((1~ т)/2'^Я/2 + 3/412 ) ,
m нечетное.
Остальные м. э. с. б. для гс+_, гс_+ и гс~~ вычисляются при помощи
равенств (6.24).
188 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Нетрудно убедиться, что имеют место следующие соотношения:
\rrL> °rnm) = Km' W)m№~a [{m + n)l/ml]l!2x
( - n, (m + 1 - ik)/21 \
X Г ((/n + 1 - ik)/2)2Fi |2J- <6-37)
(rrIm> °rnm') =-*'(- l)S'gn " (ГГ+,. OTnm), (6.38)
(rrK ornm) = 60m, (2-i/2-'V("!)1/2) Г ((1 - ik)l2) x
f-n, (1 - ik)/21 \
ХаЛ^ j \2p (6-39)
<'0Cnm0r") = ^6n,+n, 2n+m?'n' (22"+m+'"ln2! (tl + w)!/n,!),/2 X
X ( _ t. ) ["m {Г ((n, + n2 - m)/2) Г ((л2 - "I -f m)[2)}~1 X
/-nb 1 - ("I + "2-f/и)/2 \
x a* ( ("2 _ Л1 _ m)/2 -lj±r {Г ((". + n, - ")У2) X
, (-tiu 1-("i H- "2-/n)/2 \1
XI-"",-", + "<)/2"-'л( (%_"1+m!)/2 -l)J. (6.40)
Для базиса re имеем
(retm, Or,|m') = V2 (1 + (-1 )m~m) Am (2я)l2(rrtm', ОГnm'), (6.41)
{relm, ОГпт) = '/2 (l + (~\)m~m ) Вт' (2п)Ш (ГГкт', ОГпт'), (6.42)
где Ат' и Вт' - коэффициенты в разложениях функций gcm(Q, '/4, - к) и
gsm(Q, 1/4,-к) соответственно в тригонометрические ряды (Б.26); см.
[127].
2.7. Вещественное и комплексное уравнения теплопроводности (dt - дгх -
дуу) Ф = 0
Уравнение теплопроводности в трехмерном пространстве-времени,
нормированное надлежащим образом, имеет вид
<?Ф - 0, Q = dt - dXlXl - дх,х., (7.1)
где /, jfi, х2- вещественные переменные времени и пространства
соответственно. Поскольку это уравнение можно получить из уравнения
Шредингера (5.2), заменив в последнем i на -it, алгебры симметрии этих
двух уравнений тесно связаны между
2.7. Уравнение теплопроводности (д, - дхх - дуу)Ф = 0 189
собой. Алгебра симметрии уравнения (7.1) девятимерна и имеет базис
н2 = t2dt + tx\д* + tX2dx, + ' + (*? + О/4- н -2 = dt >
Р, = д,г Bj = tdxt + Xjl 2, M = Xldx-x2dx, (7.2)
Н° = xfiх -\-х2дх -\-2tdt-\-\, Н0=\, у=1, 2.
Соотношения коммутирования алгебры симметрии этого уравнения имеют вид
[Н°, Н±2] = ± 2Я±г, [Н°, В,] = В,, [Н°, Р,] = - Р/,
[Р/, Н2] = В" [Р" В,\ = 112Н0, [Р" Bt\ = О,
[И .2, Я2] = Я°, [Н±2, М] = [Н2, В,] = [Н-2> Р/] = [Я°, М] = О,
[В" М\ = (-1)/+1 Я/, [Я_2, В,] = Р" [Р" М] = (-1)/+1Р/, (7.3)
у> i= 1 > 2, У А
а Я0 принадлежит центру алгебры. Обозначим через ^з вещественную алгебру
Ли с базисом (7.2). Пятимерная подалгебра Вейля W2 алгебры ^з
натягивается на операторы Я/, Р/, Я0, и локальная теория Ли определяет
соответствующее локальное действие группы
Т (w, z, р) ? (У, х) = ехр [у х • w + w • w + р] ? (У, х + /w + z),
(7.4)
где w ={wu w2), г = {zь z2), xw = xxwi + x2w2 и wh z/, p eJ?. Эти
операторы действуют на пространство SF функций *Р(У, х), аналитических в
некоторой заданной области Ф трехмерного пространства. Кроме того, эти
операторы отображают решения уравнения теплопроводности в решения.
Аналогичным образом трехмерная подалгебра sl(2,R) натягивается на
операторы Я±2> Я0, которые определяют операторы
Т (А) V (У, х) = ехр [- (б + Ур)~' х • х] X
X (б + ФГ1 У (??тр (6 + Ур)"1 х) , (7.5)
А = (° J)e=SL(2,/?),
характеризующие локальное представление группы SL(2,R). Оператор М
определяет локальное представление группы SO (2) :
/ cos 9 sin0\ Т(0)^(У,х) = ^(У1х0), 0 = (_sinO coseJ. (7.6)
190 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
