Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 79

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 122 >> Следующая

положительного целого числа I существует точно 21 + 1 таких решений,
соответствующих 21 + 1 различным собственным значениям Я. Эти решения (в
точности по одному для каждой пары собственных значений Я, I) можно
представить в виде конечных рядов, называемых многочленами Ламе.
Существует восемь типов многочленов Ламе, причем каждый из них имеет вид
snsacncadnda/;,p(sn2a), s, с, d = 0, 1, s-\-c + d-\-2p - l,
где Fp(z)-многочлен от z порядка р. Более подробно эти функции будут
рассмотрены в разд. 3.3.
8.2. Модель гильбертова пространства: сфера s2
По аналогии с методами, рассмотренными в гл. 1, можно в пространство
решений уравнения (1.1) ввести некоторую структуру гильбертова
пространства таким образом, что решения с разделенными переменными будут
являться собственными функциями самосопряженных операторов в
обвертывающей алгебре алгебры <?f(3). Используя результаты, полученные в
разд. 1.3, можно показать, что если функцию *F(x) можно представить в
виде
Т (х) = ^ ехр (/сох • k) h (к) dQ (к) => I (h), (2.1)
Si
X = (*1, Х2, *з). k = (fcb k2, h), то она удовлетворяет уравнению (Аз +
co2)'F(x) = 0. В формуле
(2.1) к - единичный вектор (?-k= 1), пробегающий единичную сферу 52:
k\ + &! + &з=1, dQ - обычная мера телесного угла на
этой сфере и h - произвольная комплекснозначная измеримая
функция на S2 (относительно dQ), такая, что
5J|A(k)prfQ(k) ¦< оо.
s2
Множество L2(S2)' таких функций h образует гильбертово пространство со
скалярным произведением
<А" /г2) = ^ 5 hi (r) (r) dQ (2-2)
Si
в сферических координатах на S2
k== (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0), 0<9<Jl, --Я<ф<Я,
dQ(k) - 8in0d0d? (2,3)
218 Гл. 3. Сравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
это произведение записывается в виде
л я
(Ль Л2)= 5^5 (р^2^' Ф) s'n
-л О
Элементы ?(Л,а) группы ?(3) действуют на решения рассматриваемого
уравнения Гельмгольца посредством операторов Т(g); см. формулы (1.9),
(1.12). При помощи (2.1) мы находим, что
T(g)4(x) = I(T(g)h) (2.4)
каждый раз, когда W = I(h), причем операторы T(g) в L2(S2)' определяются
следующими соотношениями:
Т (g) Л (к) = ехр (icoa • кЛ) А (кЛ), (2.5)
g = (Л, а), Л е SO (3), а <=/?3.
Таким образом, операторы Т(g)\ действуя на Т, индуцируют
операторы (которые мы также обозначаем T(g)), действующие на Л. Легко
непосредственно проверить, что операторы (2,5) обладают свойством
гомоморфизма T(gig2) - T(gi)T(g2). Более того, эти операторы унитарны в
L2(S2):
(T(g)Ai, Т (g) h2) - (hi, h2), h, e L2 (S2).
Этот результат и соотношение (2.5) зависят от инвариантности меры при
повороте: АЙ(кЛ) = dQ(k).
Аналогичным рассуждением можно показать, что образующие алгебры Ли в
L2(S2), индуцируемые образующими (1.2) на пространстве решений,
определяются следующими соотношениями:
Pi - iaki - /со sin 9 cos ф, P2 = mk2 = ко sin 0 sin ф,
P3 = I(D&3 = 1(0 cos 0,
/, = k3dkl - = sin <pde + cos ф ctg 0<Эф,
/2 = kidk, - k3dkl = - cos <pde + sin ф ctg 0дф,
J3 = k^kl - kidki- - d ф. (2.6)
По аналогии с (1.12) связь между этими операторами и групповыми
операторами (2.5) определяется соотношением
Т (g) = ехр (ф73) ехр (070 ехр (ф73) ехр (a{Pi + а2Р2 + а3Р3),
где ф', 0', ф'- эйлеровы углы для Л. Кроме того, операторы (2.6) являются
кососимметрическими эрмитовыми операторами на плотном подпространстве 2)
пространства L2(S2), состоящем из бесконечно дифференцируемых функций в
S2,
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера Si 219
Мы показали, что операторы Т (g) определяют унитарное (неприводимое)
представление группы ?(3) на ?2(^2) ¦ Легко видеть, что элементы алгебры
<§Г(3)2 являются симметрическими на ниже мы покажем в явном виде, что
области определения этих элементов можно расширить, с тем чтобы
определить самосопряженные операторы в плотных подпространствах
пространства ?г(5г). Для каждой пары коммутирующих операторов,
перечисленных в табл. 14, можно найти соответствующую пару коммутирующих
самосопряженных операторов S, S' на ?2(^2) и получить спектральное
разложение этой пары. Эти результаты будут использованы нами для
получения информации относительно пространства Ж, состоящего из решений
Ч' уравнения Гельмгольца, таких, что Чr=I(h) для некоторого элемента h е
?2(5г)4 см. (2.1). Через Ж мы обозначаем гильбертово пространство со
скалярным произведением
QVu Л2>, Ч^ = /(?,). (2.7)
(Нетрудно показать, что не существует такого ненулевого элемента /г е
?2(52), который при помощи оператора / можно было бы отобразить в нулевое
решение уравнения Гельмгольца.) Следовательно, / является унитарным
преобразованием из ?г(5г) в Ж. Отсюда вытекает, что операторы Т (g) в Ж,
определяемые формулами (1.9), (1.12), также унитарны.
Каждую функцию Ч*1 (х) в Ж можно представить в виде скалярного
произведения
W (х) = /(?) = <?, н (X, •)>,
Н (х, к) = ехр (-мх ¦ к) е ?2 (S2).
Так же как в разд. 1.3, существование унитарного отображения / дает нам
возможность переходить в задачах от пространства Ж к пространству ?2(^2).
В частности, если S и S' - пара коммутирующих операторов из табл. 14, мы
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed