Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
можем представить эти операторы как пару коммутирующих самосопряженных
операторов в ?2(^2) и определить базис собственных функций для ?2 (S2):
*^/яц = ^/яи> ^ fi\i ~ V'fi\i> (/яц> /я'ц')= ^ (^ А ) б (ц. \i'). (2.9)
Тогда функции Ч^Дх) = /(/яД образуют в Ж соответствующий базис для
операторов S, S', построенных из образующих (1.2):
SWXll = XWXll, S'VXll = n4V (2.10)
Последние выражения дают возможность вычислить интеграл для Ч^ц, так как
они гарантируют, что Ч^ц является решением
220 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
уравнения Гельмгольца с разделенными переменными, ассоциированными с
операторами S, S'. Более того, если W - решение уравнения (1.1), такое,
что = 1(h) для некоторого h е L2(S2), то имеет место разложение
Т (g) W(x)=E (Т (g) h, /Х(1> 4% (x), (2.11)
К ц
сходящееся как поточечно, так и в смысле гильбертова пространства.
Продолжим анализ нашей модели L2(S2). Гармонический анализ, связанный с
рассмотрением функций на сфере, сам по себе представляет значительный
интерес. Как правило, такой анализ, при котором рассматриваются только
сферические координаты 5 (см. табл. 14), дает в результате теоремы,
касающиеся разложений по сферическим гармоникам. Мы же исследуем все
представленные в табл. 14 одиннадцать систем координат на S2. В некоторых
случаях в нашем анализе мы будем использовать более простые модели
представлений, нежели модель L2(S2).
Поскольку подробный анализ системы сферических координат 5 можно найти во
многих учебниках (см., например, [37, 43, 86, 130]), мы перечислим здесь
без доказательств только наиболее важные результаты, относящиеся к этой
системе. Все унитарные неприводимые представления группы SO(3)
конечномерны. Они обозначаются через ?)/, 1 = 0, 1, 2 причем
dim ?)/= 2/+ 1. Если {/г, /2, -?з}-операторы в пространстве Vi
представлений Dt, соответствующие образующим (1.5) алгебры Ли, то
существует о. н. базис {/<[>: m = l, I- 1, для К/,
такой, что
= ^ = [(/±m+ l)(/Tm)F/w±1, (2.12)
где J± = 4:J2 + iJ\, J0 = iJ3, причем /+/^ зз/-/(^ = 0.
Если группа параметризована при помощи эйлеровых углов (1.6), то
матричные элементы операторов D(A) = =а= ехр (ф/3)ехр (0/i)exp (ф/3)
относительно о. н. базиса {/$},
DM)/"- 2 О.М)/"
определяются соотношением
DL (А) = t m [ [j * g'((/_ ]1/2 exp [г (n<p + тф)] Pt m
(cos 0),
(2.13)
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера S2 221
где
pr.. (cos в) _ х
хх р ( I ti, m I cos 8 - 1 ^ ,0 . ...
2 m - n + l cos8 +1 ) (• )
- обобщенная сферическая функция. (Матричные элементы
(2.13) известны как D-функции Вигнера [36].) Матричные элементы Dlnm
обладают обычными свойствами гомоморфизма и унитарности:
Dlnm(AA')= ? DlnI(A)DlIm(A'), Л,Л'е=50(3),
/=_' , , п -/ (2'15)
Dlnm{A~l)= Dlmn{A).
Матричные элементы частного вида Dl0m(A) пропорциональны сферическим
гармоникам
DL(<?, 0, ф) = Г(17|т)1/2УГ(0, Ф), (2.16)
где
^ = [ (2/4я (/ + ^Г'У2 РТ (cos 9) e'm(P' <2'17)
а РТ(cos 0) = P°i' '"'"(cos 0) -присоединенная функция Лежандра.
Из (2.12) следует, что в Vt имеет место соотношение
J-J = /f + /l + /2 = -Z(Z + l)?, (2.18)
где Е - единичный оператор.
Теперь рассмотрим неприводимое представление Т группы Е(3) в L2(S2),
которое определяется соотношением (2.5). Если ограничить Т на подгруппу
SO(3), то оно становится приводимым и разбивается на прямую сумму
оо
r|SO(3)es ? (r)Dlt (2.19)
i-0
т. е. L2(S2) можно разложить на прямую сумму взаимно ортогональных
подпространств Vi
L2(S2)~ ? (r)vlt
i-0
где dimEf=<2/+l и действие операторов Т(Л) на инвариантное
подпространство Vi унитарно эквивалентно Dp Элементы h из подпространств
Vi являются решениями уравнения J - J/i = = которое в сферических
координатах (2,3) имеет
222 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
вид
(de9 + ctg0de + sin-20dwM (0, <р) = - /(/+ 1)А(0, ф). (2.20)
В этом уравнении JJ является оператором Лапласа на сфере S-2. Из
представленных выше результатов вытекает, что самосопряженное расширение
этого оператора (которое мы также обозначаем через JJ) имеет дискретный
спектр - /(/+ 1), 1 = = 0, 1, 2, причем кратность каждого собственного
значения равна 21 + 1.
.Для Vi существует некоторый базис, состоящий из собственных функций
ф) оператора симметрии /°, удовлетворяю-
щего соотношениям (2.12), где
J± = e±iv(±db + i ctg 0аф), /°=-/<5ф. (2.21)
Действительно, из рекуррентных соотношений (2.12) и дифференциального
уравнения (2.20) мы получаем
f>. ф)-1?(е, Ф). <г" (2.22)
Нетрудно показать, что действие операторов Р/ на этот базис описывается
формулами
pOf(l) _ Г (/ +от+!)(/ -от + 1)11/2 f(l+1) _
Г/т ш]_ (21 + 3) (2/ + 1) J 'т
_ Г (I + от) (I - от) Т1'2 м -1)
L (2/ + 1) (2/ - 1) J 'т '
р+Ш) Г (' + от + 1) (' + от + 2) I1'2 ,<j + i) _ r Im (2/ + 3)(2/ +
1) J 'т+1
_ Г (l-m) (l-m-l) 11/2Щ-1)
"L (21+ 1) (2/ - 1) J т+1 '
р-Ш) _ Г (I - m + 2)(l - от+ 1П1/2 ,ц+1) .
Г 'ш ш]_ (21 + 3) (21 + 1) J 'm-l I
, Г ('+ от) (/ + ОТ - 1) I1'2 Щ-1) (223
' L (2/ + 1) (2/ - 1) J т-1 ' (2..2.6)
