Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
записываются так:
а" + г 'а7 + (ш2!2 - т2ц2 - х) а = о,
Я" + ТГ>Я + (иУ - m2y + X) Я = 0, (1.24)
((/., Р2}-(/2, P,})Y = Wt
а решения с разделенными переменными имеют вид
(iX/4(s> + (m + 1)/2
fiXva + (m + 1)/2 \
S (I) = I ехр (± /a"|2/2)i Pi ^ m+i T/co|2J,
(1.25)
( - iX/4(r) -f (m + l)/2 \
H (л) = Л exp (± i(ar\2/2)i P, ^ j hF icori2 J.
Рассмотренные выше восемь систем координат - это единственные системы,
для которых решения с разделенными переменными являются собственными
функциями некоторого оператора второго порядка, т. е. квадрата оператора
симметрии первого порядка. Анализ систем 9-11 выполняется не так просто.
Для параболоидальных координат 9 получаются уравнения с разделенными
переменными a, р, у:
А" + (- q - Хс ch 2а + (и2с2/2) ch 4а) А = 0,
В" + {q + Xc cos 2р - (и2с2/2) cos 4р) В = 0, (1.26)
Р7/ + (- q + Хс ch 2у - (со2с2/2) ch 4у) Г = 0, q = р, - с2и2/2, •
3.1.. У равнение Гельмгольца (Дз + шг)Ч''= 0 215
где
{П - с {J2, Pi) + С {JV Р>}) V =- liV.
(сР% - сР\ + {/" Р,} - {/" Р2}) V = К9. 1 }
Каждое из уравнений (1.26) можно преобразовать в уравнение Уиттекера -
Хилла (6.28); см. разд. 2.6 [127]. Однозначные
решения уравнения (1.1) определяются формулой
Ч' (а, р, у) = gcn (га; 2см, Я/2ш) gcn (Р; 2см, Я/2(c)) X
Xgcn(iy + п/2; 2с0, Я/2ш), я = 0, 1, 2. И = Пл. (1-28)
либо тем же самым выражением, но с gcn, замененным на gsn-
Для эллипсоидальных координат р, v, р, при 0 < р < 1 <
<v<a<p<cxD однозначно определяющих точку пространства, все уравнения с
разделенными переменными принимают вид
(4 (Л (|)Г (h (?)Г -jL + Я,6 + Я2 + 02Г) Е (I) = О,
П 291
Л (6) "= (6 - а) (6 - ОБ, 6 = 1*. V, р, {
причем
(J ¦J + Р\ + аР\ + (а + 1) Р2) ? = Я.Ч',
, 2 2 24 (1.3°)
(/2 + а/, + aPl) ? = Ш.
Для удобства вычислений введем эквивалентные координаты а, Р, у,
допускающие разделение переменных и определенные следующим образом:
p = sn2(a, k), v = sn2(P, k), p = sn2(y, k), k = a~l/2, (1.31)
где sn(2, k)-эллиптическая функция Якоби (см. приложение В). Связь между
a, р, у и х, у, г дается соотношениями
х = ik~x (k')~l dn a dn р dn у, y = - k (k')~l cn a cn p cn y,
z= fcsnasnpsny, (1-32)
где cn a и dn a - эллиптические функции, a k' ='( 1 - k2) *'2. Чтобы x,
у, z имели вещественные значения, необходимо, чтобы а было
вещественнозначным, р - комплекснозначным и таким, что Rep = К, а у -
комплекснозначным и таким, что Im у = К', где K{k) определяется в (В.З) и
К' = K(k'). Для того чтобы координаты х, у, z могли один раз пробегать
все возможные вещественные значения, достаточно, чтобы а изменялось на
отрезке [-К, К], Р -на отрезке [К- iK', K+iK'] (параллельном мнимой оси),
а у -на отрезке [-K + iK', K + iK'] (параллельном вещественной оси). В
этих новых переменных ypaq-
216 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
нения с разделенными переменными принимают вид уравнения эллипсоидальной
волны
{-w + k2%2 + ^sn21 + k2(S>2 sn4g}E (r) (tm) °> 1" a> p> V- (1 -33)
Из свойств периодичности эллиптических функций следует, что если в (1.32)
заменить ? на ? + 4/Сл + ИК'пг, где тп, п-~ целые числа, а | - одна из
переменных ос, р, у, то х, у, г не изменятся. Таким образом, однозначными
функциями от х, у, г будут только те решения Е(%) уравнения (1.33),
которые являются двоякопериодическими и однозначными функциями от
переменной ? с вещественным периодом 4К и мнимым периодом 4iK'. Эти
двоякопериодические однозначные решения уравнения
(1.33) называются функциями эллипсоидальной волны и обозначаются
символом е1(?) в предложенной Арскоттом системе обозначений [7, гл. X].
Существует восемь типов таких функций, причем каждую из них можно
представить в виде
sns г спс г dnd zF (sn2 z), s, с, d ¦= 0, 1,
где F - сходящийся степенной ряд от своего аргумента. Соб-ственные
значения счетны и дискретны.
Чтобы рассмотреть конические координаты г, р, v (система 11 табл. 14),
для удобства положим p = sn2(oc, k), v =" *= sn2(p, k), где k = bv'2 > 0;
тогда
x = r (k')~l dn (a, k) dn (P, k), у = irk (k')~l cn (a, k) cn (p, k),
z = rk sn (a, k) sn (P, k) (l-34)
и переменные меняются в следующих интервалах: 0 ^ г, -2К < ос < 2К, Р е
[К, К + 2iK') (см. [7]). Уравнения с разделенными переменными
записываются так:
R" + 2r~lR' + (а-1(1+1) г~2) R - 0,
А" + (К-1(1 + l)k2 sn2a) Л = 0,
В"+ (%-1(1 + \)k2 sn2 р) В = 0, *1,35)
j. i)Y, + -
Первое уравнение имеет решения вида /?(/¦) = /"1/2/±ц+1/2)(cor), что
соответствует (1.18а). Два последующих уравнения являются уравнениями
Ламе. Если ос или р увеличить на целые, кратные 4К или ПК', то х, у и г,
как следует из (1.34), не изменятся. Таким образом, к однозначным
функциям от х, у, г приводят только те решения Л (ос), Д(Р) уравнений
(1.35), которые являются двоякопериодическими и однозначными функциями от
переменных ос, р соответственно. Известно (см. [7]), Что
двоякопериодические решения уравнения Ламе существуют
3.2. Медаль гильбертова пространства: сфера Si 217
только в тех случаях, когда / = О, 1, 2, ... . Кроме того, для
