Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
где
р° = iP3 = - ш cos 0, Р± = q= Р2 + iPx = - сое±гф sin 0 (2.24) (см.
[83]).
Матричные элементы операторов переноса Т(?', а) = = ехр (aiPi + а2Р2 +
а3Р3) определяются формулой
Щ,"Ща) = <Т №. а) С. 0 =
- \ ехр (ша • к) К?' (ii) F(tm) (к) i/ti (к), (2.25)
6*2
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера $2 223
или - в развернутом виде -
Tlm, rm' (а) = (4л)1/2 ? [ (2' ^)+1)+1)]1/2 И. М) X
XYf'~m(а, Р)С(s, 0; /, 0|/', 0)C(s, m'-m; I, m\T, m'), (2.26) a = (a sin
a cos p, a sin a sin P, a cos a), a^O,
a C(-)-коэффициент Клебша - Гордана для SO(3) [37, 83, 122]. (Сумма в
(2.26) фактически конечна, так как, за исключением ограниченного числа
значений s, коэффициенты Клебша- Гордана обращаются в нуль.) Сферические
функции Бесселя jn(z) определяются соотношением
jn(z) = (n/2z)mJn+l/2(z), " = 0, 1,2.......... (2.27)
Применяя интегральное преобразование / к нашему о. н. ба-зису {/"} для
L2(S2), мы получаем о.н. базис {= /(/(^)} решений уравнения Гельмгольца,
которые удовлетворяют следующим уравнениям на собственные значения:
J = -/(/+ 1)4^, /зЧ'т = -imWm-
Эти собственные функции разделяются в представленной в табл. 14 системе
сферических координат бив явном виде даются соотношением
^(г, 6, ф) = Aniljt (tor) Y(tm) (0, ф),
/ = 0,1,2...... m - l, I - \.....-/. (2.28)
Такие функции часто называются сферическими (стоячими) волнами. Они
обязательно удовлетворяют рекуррентным соотношениям (2.12) и (2.23), в
которых операторы теперь определяются формулами (1.2). Матричные элементы
(2.13) и (2.26) можно использовать непосредственно для разложения функции
T(g)4f^) по элементам сферического базиса. Рассматривая, например,
частный случай, когда g =(Е, а), мы получаем теорему сложения для
сферических волн:
П>№. в. = е, <р), (2.29)
где R, 0, Ф - сферические координаты для трехмерного вектора R = x + a.
Формула (2.29) впервые была опубликована в [129].
Легко показать, что решения, не принадлежащие нашему гильбертову
пространству,
^2° (Р* е> ф) = (top) У(tm) (0, ф), (2.30)
224 Гл. S. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
удовлетворяют рекуррентным соотношениям (2.12), (2.23), а следовательно,
и любая их линейная комбинация + P'F'W
также удовлетворяет этим рекуррентным соотношениям [122]. Таким образом,
матричные элементы (2.13), (2.26) справедливы для всех этих базисных
множеств, и формула разложения (2.29) имеет силу как для множества
{Ч^г)}, так и для базиса гильбертова пространства {Ч^}.
Определим с помощью нашей модели L2(S2) спектральные разложения
операторов, соответствующих системам 1-4 в табл. 14. Специфической
особенностью этих систем является тот факт, что для них Рз- диагональный
оператор. Из (2.6) непосредственно следует, что ограниченный
самосопряженный оператор 1Р3 - -со cos 0 имеет непрерывный спектр,
покрывающий отрезок [-со, со], причем каждая точка этого отрезка имеет
кратность, равную единице. Фиксируя собственное значение оператора /Рз,
мы фиксируем координату 0. Оставшаяся координата ф все еще может меняться
в интервале от -я до я, пробегая при этом некоторую окружность в S2-
Оставшийся оператор симметрии второго порядка для каждой из систем 1-4
коммутирует с Рз; следовательно, функции на этих окружностях остаются
инвариантными, и нам приходится иметь дело с одним из четырех случаев,
исследованных нами в разд. 1.3. Повторяя рассуждения этого раздела, мы
немедленно получаем следующие результаты.
1. Система декартовых координат
Уравнения на собственные значения имеют вид
iPja]y " - (r) C0S (y) /а,\> iP2/2! Y " - (r) sin (y) sin (a) (2.31)
причем базисные собственные функции задаются соотношениями
fd) (в ф)ш МФ~"Ж9-у) ' - я<а<л, 0<у<я,
v (sin \)1 (2.32)
</'%. f(a', у') "" 5 (а - а')5 (Y - Y0-
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца являются решениями типа
плоской волны
Ч'а!? (*) " I (fa!у)1=1 (sin Y)*/2 ехр [/ш (Xj sin у cos а +
+ sin у sin а + ,xg cos у)]. (2.83)
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера S2 225
2. Система цилиндрических координат Уравнения на собственные значения
имеют вид
= ~ "cos (V) ЭД\ = (2-34)
а базисные собственные функции задаются соотношениями
= . °<V<"-(2.35)
</S?v = VO-
Кроме того, имеет место соотношение
<*) = 7 (О = " (2я sin V)'/2 7" ((r) (у) г) X
X ехр [г (пф + wz cos y)], (2-36)
ЛГ = ГС08ф, у Г Sin ф, 2 = 2.
Это решения уравнения Гельмгольца типа цилиндрической
волны.
3. Система координат параболического цилиндра
Уравнения на собственные значения имеют вид *'W±. Y = - " COS (Y) /<3>±.
у, {/3, я2} /<3>±, Y = 2pco sin (Y) Y (2.37) а базисные собственные
функции определяются соотношениями (2я sin y)~1/2 (1 + cos ф)-1Ц/2~1/4 X
Х(1 -cos?)W2_1/46(0-Y),
О < ф < я, (2.38)
О, - я < ф < О,
rf,3!, v <0. <p)"/i.3+,v(9. - <р) - 0<Y<n.
"X. ^*,r> = в(I* - ю"(v-vO. ,-> = "•
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца имеют вид ^1, v (х) = /
(/<3>, Y) = (^L)1/2 sec (щя) X
X[Oiu_ 1/2 D_lil_ll2(or\) + 0(ц_1/2( al) d_i[t_il2( cni)] X
cos Yj (2.39)
