Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
^L, Y (l, Л. z) = ?<?>._ Y (I, - ri, z), cr = ew/4 (2oa sin y)'/2,
x = (I2 - ri2)/2, y = lr\, 2 = 2.
226 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
4. Система координат эллиптического цилиндра
Уравнения на собственные значения имеют вид
- (4+d*P\)Klv = Ktf(Xr (2-40)
базисные собственные функции задаются соотношениями
1/2 Се" VV, 4>v Ш - Y>, n = v, ...
(2.41)
fnl, v (0. ф) = (я sin y) ce" (ф, q) 6 (0 - y), n = 0,1,2..........
9) = (nsin у)"1/2зе"(ф, q) 6(0 -у), "=1,2............
q = (d2o2/4) sin2 у, О^у^я.
Собственные значения Xn± дискретны, имеют кратность, равную единице, и
связаны с собственными значениями а уравнения Матье (Б.25) соотношением а
= - X - l/2d2a2 sin2 у. Множество {fnt.y} образует базис для L2(S2),
удовлетворяющий соотношению
<f!3. V №. v) = (V - V'). = с. (2.42)
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца имеют вид
V (х) = сп (sin Y)1/2 Cen (a, q) се" (р, q) ехр [ie>z cos у],
п = 0, 1, 2.....
(2.43)
v W " Sn (sin Y)1/2 Sert ((r). 9) se" (p, 9) exp [fa"z cos y],
"=1,2.........
Где Cen и Sert - модифицированные функции Матье (см. уравнение (3.40)
разд. 1.3), а Сп, Sn - константы, определяемые из интегральных уравнений
v =(f$, v)' Координаты эллиптического цилиндра a, р, z задаются
соотношениями
x = dchacosp, # = dshasinP, z = z.
Спектральные разложения для систем 6-10 были впервые описаны в работе
[25]; система 11 была изучена раньше - см. [108]. Результаты для этих
систем приводятся ниже.
6. Система координат вытянутого сфероида Уравнения на собственные
значения имеют вид
-Л*)/". х:С" (2.44)
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера Si 227
а о. н. базис собственных функций определяется формулой
(в. ф>=[("7"'+i'L'K " ГPs'"'(cosе' "w>e'm- (2-45)
(Первое уравнение для собственных значений (2.44) превращается во второе
уравнение (1.20).) В формуле (2.45) п = = 0, 1, 2, ..., m = n,n- 1, ...,
-п, а через А(tm)(а2(c)2) обозначены дискретные собственные значения. В
нормировке, принятой Мейкснером и Шефке [80] ,(/<"%, т) = ЬппАтт< Функции
сфероидальных волн часто даются в виде их разложений по присоединенным
функциям Лежандра:
Ps[m 1 (*, a2(c)2) = ? (-\)k a[m2[ (a2(c)2) Pln%k (x) (2.46)
2fc>|m|-n
(cm. [7]). В самом деле, подставляя (2.46) в уравнение сфероидальной
волны, легко получить рекуррентную формулу для коэффициентов а%2к-
Соответствующий базис для решений уравнения Гельмгольца имеет вид
W = 1 Пт) = С (О2(r)2) К"' (Ch Ч, aV)X
X Pslnm1 (cos a, a2(c)2) eim(p, (2.47)
где С(tm) (a2(c)2) - константа, определяемая из интегрального уравнения. Этот
результат легко получается из того факта, что ^6)т разделяется в
координатах
х = a sh т] sin a cos ф, у = a sh т] sin a sin <p, z = achr]cosa.
(См. соответствующее доказательство формулы (3.38) в разд. 1.3.)
7. Система координат сплющенного сфероида
Уравнения на собственные значения записываются в виде
(j • J + аР\ -f аР1^) f^m - - ¦On.'m' iI/n,m = mfn),m' (2-48) о. и. базис
собственных функций определяется соотношением
(". ф>=['¦т.'Ж'ТPs"'"'(cos е- -aV)е'" (2-49)
п = 0, 1, 2, ..., т = п, п- 1.-п.
(Здесь первое уравнение для собственных значений (2.48) превращается во
второе уравнение (1.22).) Дискретные собственные значения обозначаются
через я|Jm|(-а2(c)2)'
228 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца даются формулой
= Сп (aV) Pslm 1 (- ; sh л, aV) X
X Ps^m 1 (cos a, - a2(c)2) eim<p, (2.50)
где Cn{a2(o2) - константа, определяемая из интегрального уравнения, и
х = a ch ti sin a cos <р, у = a ch ti sin a sin <p, z = ashricosa.
8. Система параболических координат Уравнения на собственные значения
имеют вид
"'" Ра) - {К г, })!<?"= 2W?'", (2.51)
Здесь {/i, Р2} - {/2, Pi} = 2/со (cos 0 + sin 0de) - оператор первого
порядка, имеющий единственное самосопряженное расширение. Собственные
функции определяются соотношением
(0. Ф) = (2яГ' ^ (s/n 6 е!'тф>
т = 0, ±1, ±2..... -оо < Л< оо, (2.52)
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца находятся по формуле
<*>=' да")=г (г+а') х
х г (i^i) ["p(-^)"s'] X
X Mal2. -m/2[-ир WSJ2]ехр(Шф), (2.53)
причем
,, ,_ч 2('+ч)/2е-г/2 d f (1 + ц)/2 - а | _ ^
Ma.uniz) Г(1+ц) 1 'V 1+Ц Г/ ^
является функцией Уиттекера [29] и
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера S2 229
9. Система параболоидальных координат Уравнения на собственные значения
имеют вид
(/! - с>Р% + с {/2, Р J + С {/р Р2}) /& = -ря ,
(,СР\ - СР\ + {/21 Я,} - {/р Р2}) fZ = 2С0IfZ, (2-55) а базис собственных
функций определяется следующим образом: ф) = (2я)~1/2 ttg МП . ехр J(tm).
со$ 0 CQS 2ф^ X
°о.
(2.56)
где gcn и gsn - соответственно четные и нечетные неполиномиальные решения
уравнения Уиттекера - Хилла. Используемая здесь нормировка этих функций
заимствована у Урвина и Ар-скотта [127]. Мы имеем
(f% /ад=^м(я-лг
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца определяются по формуле
W = К ^ ё1п (Р; 2ссо, Я) gtn (ш; 2ссо, Я) X
X gtn (iy + л/2; 2ссо, Я), * = s, с, (2.57)
