Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
- вещественная величина, то (6.1) становится уравнением Клейна-Гордона
(&т - + (c)2) W (Л х') = 0. (6.2)
Алгебра симметрии уравнения (6.1) является комплексной алгеброй Ли &(2)с,
натянутой на базис
Pi - дх, Р2 = ду, М = удх - хду (6.3)
с соотношениями коммутирования
[Рь Р%\ = 0, [М, Pi] = Р" [М, Ру\ - - Ру. (6.4)
Заметим, что <8 (2) - алгебра симметрии вещественного уравне-
ния Гельмгольца - является вещественной алгеброй Ли, натянутой на базис
(6.3). Кроме того, вещественную алгебру Ли, натянутую на базис
&>у=*Ру, = /Р2, Л = М (6.5)
с соотношениями коммутирования
[&ъ ^2] = 0, [М,9>у\ = &>2, [М,0>^ = 0>ъ (6.6)
можно идентифицировать с алгеброй &{\, 1). Мы говорим, что #(2) и #(1, 1)
-вещественные формы алгебры #(2)с.
56 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Группой симметрии уравнения (6.1), которую мы получаем, беря экспоненты
элементов алгебры симметрии, является ком-плексная эвклидова группа
Е(2)с. Как и Е(2), группа Е(2)° является группой (3X3)-матриц
где теперь 0, а, Ь - комплексные числа. Групповое произведе-ние задается
выражением (1.10), а действие xg группы Е(2)° как группы преобразований
определяется соотношением (1.11). Так же, как в разд. 1.1,
и имеется локальное представление группы Е(2)с в пространстве комплексных
аналитических функций от переменных х и у, определяемое операторами T(g):
Процедура определения пространства 9* операторов симметрии второго
порядка очень похожа на процедуру, описанную в разд. 1.1. Факторизуя по
пространству q тривиальных симметрий f (х) (дХх ~f" дуу -j- (о2), / е (F,
находим, что - комплексное девятимерное векторное пространство с базисом
(Напомним, что ?=1.) В пункте (а) перечислены операторы симметрии первого
порядка, а в пункте (б)-операторы симметрии чисто второго порядка. Мы
видим, что наше уравнение принадлежит классу I: операторы симметрии
второго порядка являются многочленами от операторов симметрии первого
порядка.
По строгой аналогии с выражением (2.15) группа ?(2)с действует на алгебру
!Г(2)С операторов симметрии через сопряженное представление
и в результате этого действия d?(2)c разбивается на орбиты. Сопряженное
действие на базис Ри Ра, М дано в (2.18) - (2.20), где параметры а, Ь, а
в данном случае являются произвольными комплексными числами.
Нам представляется полезным ввести две симметрии комплексного уравнения
Гельмгольца, которые нельзя получить,
cos 0 - sin 0 sin 0 cos 0
a b
(6.7)
g (0, a, b) = exp (0M) exp (a. Pi + bP2),
(6.8)
T (g) Ф (x) - Ф (x^), ge=E(2)c.
(6.9)
(а) Pi, P2, M, E,
(б) Pi PiP2, m\ {m, Pi), {m, p2>.
(6.10)
L-> Ls (g) Z.T (g-1), ?<=<Г(2)е, gz=E{2f,
1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца 97
взяв экспоненты элементов алгебры симметрии. Этими симметриями являются
операторы Rt инверсии пространства:
#!<?(*, у) = Ф(- х, у), Р2Ф(*, у) = Ф(х, - у), (6.11)
Операторы Р/ и T(g), g^E(2)с, порождают более обширную группу симметрий
Е(2)с, связным компонентом которой, содержащим единицу, является группа
Е(2)с. Сопряженное действие операторов Р/ на 31(2)° определяется
следующими соотношениями (Р/ = Е):
Р?' = RiPiRr1 = - Pi, Ра=Ра, MRl = -M, (6.12)
P?' = PU р?' = -р2, MR' = -M. (6.13)
Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены в разд. 1.2 и 1.4,
показывают, что в результате сопряженного действия группы Е(2)с алгебра
3(2)с разбивается на три орбиты с представителями
М, Ри Pi+iP2. (6.14)
Поскольку последние два оператора коммутируют, их можно диагонализировать
одновременно.
Пусть ^(2) - комплексное пятимерное векторное пространство операторов
симметрии чисто второго порядка в ГР/ц. Базис этого пространства
образован операторами (6.106). Заметим, что в ^(2) имеет место
соотношение р\ = - Р\, так как Р\ + Р\ соответствует нулевому оператору.
Группа Е(2)с действует на ^(2) посредством сопряженного представления и
разбипет это пространство на непересекающиеся орбиты. Прямым вычислением
получаем точно восемь типов орбит со следующими представителями:
Р\, (Pi + iP2f, М2, М2-а2Р1(аФ 0), {М, Р2},
М* + (Р1 + iP2f, {М, Р, + iP2) + (Р, - iP2f, {М, Рх + iP2}.
Задачу о разделении переменных для комплексного уравнения Гельмгольца
можно сформулировать аналогично задаче о разделении переменных для
вещественного уравнения Гельмгольца, которую мы рассматривали в разд.
1.2. Но теперь новые координаты {и, о} принимают значения из открытого
множества в пространстве С X С упорядоченных пар комплексных чисел, а
и(х), и(х) являются комплексными аналитическими функциями от х и у с
ненулевым якобианом. Две системы координат, допускающие разделение
переменных, считаются эквивалентными, если одну систему можно отобразить
в другую при помощи элемента группы Е(2)с.
98 Г л. I. Уравнение Гельмгольца
Таблица 3
ОПЕРАТОРЫ И КООРДИНАТЫ
ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Оператор S Комплексные координаты Решения с разделенными переменными
1 + у Произведение экспонен-
циальных функций
2 М2 х = г cos 0, у = г sin 0 Произведение функции Бесселя и
