Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
является производящей функцией для функций Бесселя. Если Y известна, то
константы с" вычисляются обычным способом, т. е. или находится величина
правой части соотношения
(7.4) при частных значениях г, или при помощи операторных
1.7. Метод Вёйснера 101
тождеств, которым удовлетворяет функция Д-, получаются рекуррентные
соотношения для сп-
Имеет место интересное обратное свойство. Предположим, имеется сходящийся
степенной ряд вида (7.4). Тогда сумма этого ряда должна быть решением
комплексного уравнения Гельмгольца (7.1). Следовательно, решениями
уравнения (7.1) (с соответствующими свойствами аналитичности) являются
возможные производящие функции (7.4) для функций Бесселя. (Эти наблюдения
можно легко распространить на производящие функции более общего вида,
нежели разложение Лорана.)
Чтобы указанная выше процедура была действенной, необходимо найти
эффективный способ получения явных аналитических решений уравнения (7.1).
Как нам кажется, такой способ состоит в том, что находятся решения с
разделенными переменными, соответствующие каждой из шести систем,
перечисленных в табл. 3. В самом деле, если Ф - решение с разделенными
переменными, соответствующее оператору симметрии S, Sф = ХФ, и g^E(2)с,
то решение с разделенными переменными ХГ = Т(^)Ф соответствует оператору
S'= T(g)ST(g_1), лежащему на той же орбите: 5/хГ = АЛТ. Теперь Д- нужно
подставить в соотношение (7.4), в результате чего мы получаем
производящую функцию для Jv((?>r). Хотя Вейснер нигде явно не указывает
на связь между операторами симметрии и разделением переменных, в работе
[34], строя производящие функции для функций Бесселя, он дает операторную
характеристику отдельным решениям с разделенными переменными для всех
орбит, кроме орбит 3 и 6.
Прежде чем заняться исследованием этого вопроса, полезно определить
действие операторов T(g) на функции от полярных координат. Перейдем к
комплексным координатам г, s, где
х = г cos <р = y(s + s"1), У = г sin ф = jt-(s - s-1), s = eitf. (7,5)
Далее, выберем новый базис {Р*, Р0} для алгебры с?(2)с, определив его
через элементы старого базиса по формулам
P+ = Pi + /P2, P" = -Pi + fP2, Р° = Ш. (7.6)
Соотношения коммутирования для этого базиса имеют вид
Гр+, р-] = 0, [Р°, Р±] = ±Р±. (7.7)
Из (6.3), (7.5) и (7.6) получаем
Р± = s±l (+ дг - (s/r) ds), Р° = sds = - id,p. (7.8)
102 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Поскольку для &(2)с мы имеем новый базис, необходимо выбрать новую
параметризацию группы Е(2)с:
g = ехр (0M)-exp (aPi + ЬР2) = ехр (тР°) ехр (аР+ + рР_), ^ ^
0 = пг, а = а - р, b = i (а + 0).
В координатах {т, а, 0} групповое умножение определяется соотношением
g(т, а, Р)^(т', а', р,) = ^(т + т/, ае~х' + а7, Рег'+Р'); (7.10)
операторы T(g), имеющие вид
Т (g) W (г, s) = ? (г [ 1 + 2аexslr]m [ 1 - 2рe-x/rs]w,
sex [1 - 2pe-Vrs]l/2[l + 2аехsir]'1'2), (7.11)
корректно определены для 12§e-^/rs| < 1, \2a.exs/r\<
Величина константы со большого значения в нашем последующем анализе не
имеет, и поэтому впредь мы будем полагать, что со = 1.
Как следует из (7.2), для фиксированного те С собственные функции
оператора Р°, которые также являются решениями уравнения (7.1), принимают
вид J±m(r)sm. Для ясности возьмем собственную функцию
Ч+(г, s) = Jm(r)sm, P°Wm = m'?m. (7.12)
Из соотношения коммутирования вытекает, что [Р°, Р+] = Р+, откуда [Р°,
Р+] Wm = P+xFm или
Р°(Р+хУт) = (т + 1 )Р+Чт. (7.13)
Поскольку Р+ - оператор симметрии, ясно, что Р+Х?т либо равна нулю, либо
является решением уравнения (7.1), т. е. является собственной функцией
оператора Р° с собственным значением т + 1. Следовательно, Р++т- линейная
комбинация функций (7.2), где т заменено на т + 1. Из (Б.17) находим в
явном виде
Р++т (г, s)=- +т+1 (г, S) - - /т+, (г) 5m+l.
(Этот результат легко проверить, дифференцируя почленно степенной ряд
(Б.14) для Jm(r).) Аналогичным образом из соотношения коммутирования [Р°,
Р~] = -Р~ вытекает равенство
Р°(р-'Рт) = (т-1)р-'?п. (7.14)
Таким образом, оператор Р~ уменьшает собственное значение т на единицу.
Из (Б. 17) следует соотношение
р-Чт(г, s) = -4m_l(r,
1.7. Метод Вейснера 103
Пусть теперь т0 - комплексное число, такое, что 0 ^ s?CRemo<l; рассмотрим
множество всех собственных
векторов (7.12), таких, что m = mQ -{- п, п = 0, ±1 Действие алгебры <8
(2)с на это множество определяется соотношениями
PVm = m?m, m = mQ + n. (7.15)
Эти соотношения определяют представление алгебры <8(2)с (см. [83]). Кроме
того, они указывают на тесную связь между рекуррентными формулами (Б.17)
для функций Бесселя и теорией представлений алгебры <8(2)с. Заметим
также, что порядок m функции Бесселя Jm(r) является теперь не целым
числом, как в разд. 1.3, а произвольным комплексным числом.
Как показано в [83], представление алгебры Ли (7.15) можно расширить до
представления локальной группы Е(2)с, локальной в том смысле, что
групповые операторы T(g) и свойство представления T(gg')= T(g)T(g')
корректно определены и имеют смысл только для групповых элементов g, g',
