Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что эти формулы представляют собой разложения экспоненты
ехр(уР±)Чгт по элементам базиса {Ч^+п}- Поскольку операторы Р± не
принадлежат вещественной алгебре Ли ef(2), получить эти формулы
непосредственно, рассматривая вещественную группу Е(2), нельзя.
Если оф ф 0, то формула (7.27) сводится к формуле сложения Графа (см.
[17])
/и И1 + рсо/г)1/2 (1 + p/(cor))1/2] (l±J^I)m/2 =
оо
= ? (- соГ/"(р)/т+"(г), |рсо/г|<1, |р/(юг)|<1. (7.30)
оо
Следует заметить, что формула (7.26) является частным случаем соотношения
Вейснера (7.4), где (г, s) - Т (g) 'Em (г, s), a g находится в достаточно
малой окрестности единичного элемента. В этом частном случае можно,
используя модель (7.17), вычислить непосредственно коэффициенты
разложения сп (см. (7.4)).
Вообще говоря, чтобы вычислить коэффициенты разложения, необходимо
использовать всю действенность метода Вейснера. Рассмотрим, например,
функцию T(g)4fm, где 'Em - собственная функция (7.12), a g = g(0, 0, -
1). Тогда можно записать
Т(^)?т = ехр(-р-)?т =
= (г2 + 2r/s)_m/2/m [(г2 + 2r/s)1/2](2 + rs)m = Ф(г, s). (7.31)
Поскольку z~mJm{z) -целая функция от г, функцию Ф можно разложить в ряд
Лорана по s в окрестности точки s = 0:
оо
ф (Г, s) = Z cnJn (г) sn, I rs | < 2. (7.32)
ftaai -ОО
Чтобы найти коэффициенты этого разложения, прежде всего положим в (7.32)
г = 0 и получим с0 = 1/Г(т + 1). Далее, поскольку Р°Чгт = rnWm, мы имеем
ТФ = тФ, где L - = ехр (-Р~)Р° ехр (Р) = Р° - Р~. Следовательно, (Р°-Р~)
Ф= = тФ, и, применяя L к каждому члену правой части (7.32), получаем сп+1
=(т - п) сп для всех п, откуда следует, что сп = 1 /Г (т - ti + 1) и
(гг+^)-"%4(г!+^),"]<2+г,г=?^Т7Ашщ,
i rs | < 2. (7.33)
Это тождество нельзя получить непосредственно при вычислении матричных
элементов (7.22) , так как здесь g фиксировано,
1.7. Метод Вейснера 107
а г и s - малые величины. Выбрав г достаточно большим, мы получили бы
формулу (7.29).
Для того чтобы получить некоторые более сложные формулы, воспользуемся
табл. 3 и потребуем, чтобы решение 'Р
(7.4) комплексного уравнения Гельмгольца было собственной функцией
оператора S е ^(2), соответствующего одной из орбит, перечисленных в
табл. 3. Разберем два примера, предлагаемых Вейснером в статье [34].
Рассмотрим случай, когда - решение комплексного уравнения Гельмгольца,
удовлетворяющее соотношению
{Af, Я,}Чг = г(4Я-О'Р, Ае=С. (7.34)
(Собственное значение обозначено через i'(4A- 1) для большего удобства
записи последующих формул.) Поскольку {М, Pi} лежит на орбите 4 (табл. 3)
и соответствует оператору 4 в табл. 2, то Ч*1 должно быть решением с
разделенными переменными в параболических координатах {и, о}:
л: = uv, iy = '/г (и2 + о2).
Полагая % = -и2, т] = - и2 и сопоставляя координаты {?, г)} с
координатами {г, s}, находим, что
6 + Ti = -r(s-s-1), i - ti = 2 lr (7.35)
и в? переменные разделяются в системе координат {g,ri}. Решения уравнений
с разделенными переменными являются функциями параболического цилиндра
Однако базис для решений с разделенными переменными удобнее было бы
выбрать в виде
/ Я I \ /А + 1/21 \
*-Z/2l4l/2|4 е'г/2г"'Ч 3/2 И' 2==^'
Связь между этим базисом и базисом функций параболического цилиндра
определяется соотношением (Б.9Ш). Для ясности положим
Ч' = ехр[-1(| + ,)],л(11/2|б),Г,(1)2|л).
Выражая | и ri через г и s при помощи соотношений (7.35) и выполняя
разложение в ряд Лорана в окрестности s = 0, находим, что
ехр (?(,- 5-')) xFx ( *2| lr ~ х + ir) ( i/21Ъ ~ Т ~ 1г)г
00
= ? cnJn{r)s\ (7.36)
Л*" - ОО
108 Гл. I. Уравнение Гельмгольца
Полагая в (7.36) s = 2a/b, r = b, устремляя b к нулю и при-меняя (Б. 14),
получаем соотношение
= !>"-?• (7.37)
71 = 0
где первое равенство вытекает из формулы преобразования для iFu Поскольку
соотношение (7.36) остается справедливым при замене s -*-> -s~l, мы имеем
сп = с-п. Следовательно, чтобы вычислить с±п, нужно произведение функций
\F\ разложить в ряд по степеням переменной а и найти коэффициент при ап.
В результате этих операций получаем формулу
( К, п, - п | \
с±я = зК2^ jy2 1/2 1 J' п = 0, 1, 2....................... (7.38)
Подставляя (7.38) в (7.36), получаем нетривиальное тождество. Тождества
для иных возможных выборов базиса приводятся в [34].
В качестве последнего примера рассмотрим случай, когда Чг удовлетворяет
уравнению Гельмгольца и соотношению
[(Р0)2 - (Р+)2] W = vV. (7.39)
Этот оператор соответствует системе 5 в табл. 3, а ? является решением с
разделенными переменными {и, о}, где
uv = х -f iy = rs, (и2 -f- v2)/(uv) = х - iy - rs~l,
T' e' и = Vs [(г2 + 2rs)1/2 - (г2 - 2rs)1/2],
v = lh [(r2 -j- 2rs)112 -j- (r2 - 2rs)I/2]. (7.40)
Квадратные корни мы выбираем здесь таким образом, что и = г и и = 0, если
s = 0. Решение с разделенными переменными Ч* принимает вид J±v (и) J±v
(v). Вообще говоря, функция ехр (aР+)ЧГ = ЧК удовлетворяет уравнению
SV = vV, 5' = (Р0)2 - а (Р°, Р+} + (а2 - l) (Р+)2, (7.41)
и, как следует из (7.11), 4я' принимает вид J±v(u')J±v(v'), где
