Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 37

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 122 >> Следующая

экспоненциальной функции
3 М2 - а2Р%, аф 0 х = a ch a cos (3, Произведение функций
у = a sh а sin (3 Матье
4 {М, Р2} *-¦/!(&*-Л*). У = \ П Произведение функций параболического
цилиндра
5 М2 + (Р, + iP*)* х = (и2 + u2v2 - v2)/(2uv), Произведение функций
у = i (и2 - u2v2 + v2)/(2uv) Бесселя
6 {М, Р, + iPt) + х = - lU (w - z)2 + 7г (ay + г), Произведение
функций
+ (Pi - /Р2)2 iy = - lU (ay - z)2 - V2 (ay+ 2) Эйри
7 fAf, Р. + /Р,} Решений с разделенными переменными нет
Мы видели, что вещественные уравнения Гельмгольца и Клейна - Гордона
являются вещественными формами комплексного уравнения Гельмгольца. Более
того, легко проверить, что каждую вещественную систему координат,
допускающую разделение переменных для этих вещественных уравнений, можно
единственным образом расширить до комплексных аналитических координат,
допускающих разделение переменных для комплексного уравнения. Таким
образом, мы уже имеем значительное число систем координат, допускающих
разделение переменных для уравнения (6.1). Соответствующие решения с
разделенными переменными можно однозначно расширить до аналитических
решений уравнения (6.1), и каждое из этих решений с разделенными
переменными является собственной функцией некоторого оператора из ??<2).
(Для определения диагонализи-рованного оператора мы переносим в 9>i2) при
помощи (6.3),
(6.4) результаты, приведенные в табл. 1, и при помощи (6.5),
(6.6) результаты, приведенные в табл. 2.) И наконец, проведя довольно
утомительные выкладки, можно видеть, .что каких-либо нетривиальных
ортогональных систем, допускающих разделение переменных, кроме тех,
которые мы уже нашли, нет.
1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца 99
Таблица 4
КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕНИИ С РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Оператор S Эквивалентные решения для вещественного уравнения Гельмгольца
(табл. 1) Эквивалентные решения для вещественного уравнения Клейна-
Гордона (табл. 2)
1 P\,{Px + iP2? 1 1
2 М2 2 2
3 М2 - а2Р\ 4 6, 9, 10
4 {М,Р2} 3 3, 4
5 М2 + (Л-ИР2)2 7, 8
6 [M,P] + iP2} + 5
+ (Pi - IP2?
7 {Af, Pt + iP2) 11
Однако связи между представленными в табл. 1 и 2 -систе-мами координат,
допускающими разделение переменных, и различными системами, допускающими
разделение переменных для уравнения (6.1), неоднозначны. Это объясняется
тем, что системы, вещественно-неэквивалентные под действием групп ?(2) и
?(1, 1), могут стать комплексно-эквивалентными в результате действия
более обширной группы ?(2)с. Иначе говоря, несколько различных орбит
групп Е(2) и ?(1,1) пространства ^2) могут принадлежать одной и той же
орбите группы ?(2)с.
В табл. 3 представлены связи между операторами орбит группы ?(2)с в 9,<-
2) и системами координат, допускающими разделение переменных для
комплексного уравнения Гельмгольца.
Коммутирующие операторы р\ и (Pi -f iPif принадлежат различным орбитам,
но соответствуют одним и тем же координатам. В табл. 4 приведены
различные решения с разделенными переменными вещественного уравнения
Гельмгольца и вещественного уравнения Клейна - Гордона, соответствующие
эквивалентным решениям комплексного уравнения Гельмгольца. Заметим, что
три системы функций Матье для уравнения Клейна - Гордона и система
функций Матье для вещественного уравнения Гельмгольца под действием
группы Е(2)с становятся эквивалентными и соответствуют одной системе 3.
Для других систем координат имеются аналогичные, но менее одиозные
эквивалентности.
100 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
1.7. Метод Вейснера для комплексного уравнения Гельмгольца
Несмотря на то что пространство решений уравнения (6.1), по-видимому, не
допускает структуры гильбертова пространства, тождества для решений с
разделенными переменными это-го уравнения получить можно, и эту
возможность предоставляет нам метод, предложенный Луи Вейснером [34, 83].
Основное внимание в этой процедуре направлено на решения, отвечающие
орбите 2 с представителем М2. Вводя в (6.1) комплексные полярные
координаты x = rcos<p, у = г sirup, мы получаем уравнение
(<Э" + г-Ч + '--Чф + "2)Ч' = °- (7.1)
Ясно, что это уравнение допускает решения с разделенными переменными вида
J±m((r)r)sm, s = ei4), me С, (7.2)
где /v(cor)-функция Бесселя. Кроме того, функция 4f = /(r)sp является
решением уравнения (7.1) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет
уравнению Бесселя
(^- + г"1-^-г"2/?2+с°2)/ = а (7'3)
Теперь предположим, что Ч' - решение уравнения (7.1), такое, что для
некоторого фиксированного теС, функция (rs)-mX?(г, s) от комплексных
переменных (r,s) является аналитической в окрестности точки (0,0).
Разложением в степенной ряд по s
оо
V(r, s)= I fn(r)sm+*
0
находим, что в области сходимости этого ряда функция /"(/-)' является
решением уравнения Бесселя (7.3) с р - т -f- п. Более того, поскольку
r~mfn(r)-функция, аналитическая при г = 0, из разд. 5 приложения Б
следует, что
fn(r) = cnJm+rl(a>r), с"еС.
Следовательно,
У (г, s)= X cnJm+n(ar)sm+n, (7.4)
п-О
где степенной ряд сходится в окрестности точки (r,s) = (0, 0), т. е. 'F
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed