Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
и' = i/2 [(г2 + 2 (1 + a) rs)1/2 - (г2 - 2 (1 - а) rs)1/2], о' - - >/2
[{г2 + 2 (1 + а) rs)1/2 + (г2 - 2 (1 - а) rs)^]. (у.42)
Упражнения 109
Взяв произведение двух решений с индексом +v, мы видим, что
представляется степенным рядом по s
Полагая г = a, s = b/a, устремляя а к нулю и сравнивая ко эффициенты при
одинаковых степенях b в обеих частях полу* ченного равенства, находим,
что
где (а)п - символ Похгаммера (Б.З).
Упражнения
1. Подставляя матричные элементы (3.54) в тождество (3.44), получить
формулу сложения для функций Бесселя, известную как формула сложения
Графа. (Обобщения и приложения этой формулы см. в [32, гл. 11]; см. также
тождество (7.27).)
2. Используя решение Ч^^х) с разделенными переменными уравнения
Гельмгольца для j = 2, 3, 4, получить билинейные разложения функции
Бесселя (3.55). Доказать, что разложение для / = 2 является частным
случаем формулы сложения Графа. Показать, что разложение для j = 4 дает в
результате интегральное тождество вида
и аналогичный результат для функции se".
3. Доказать, что полной алгеброй симметрии уравнения Клейна-Гордона (4.1)
является алгебра S(\, 1)0(1}, причем базис для <? (\, 1) определяется в
(4.2).
4. Показать, что в результате сопряженного действия группы Е(2)с алгебра
симметрии комплексного уравнения Гельмгольца &'{2)с разбивается точно на
три орбиты.
5. Одним из преимуществ методов локальной теории Ли над методами
глобальных групп является тот факт, что локальная теория применима к так
называемым специальным функциям второго рода. Функции Бесселя второго
/v(u')/v ("') =
оо
= Z cnJv+n(r)s^n, | а | < 1, V =5*-1,-2.................. (7.43)
/v ('/2 [Г - (г2 - 4rs)1/2] ) /v (1/2 [Г + (г2 - 4rs)!'2] ) =
ОО
оо
П
2 ^ /0 {со [(Л - х')2 + (у- г/')2]1/2} се" (Р', q) сф' =
-я ___
= I сп I2 Се" (а, q) Се" (а', q) се" (Р, q), п = 0, 1,2,...,
110 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
рода Ym(r) определяются соотношением
Ym (г) - \1т (г) cos (тп) - 1-т (r)]/sin (тп)
или пределом этого соотношения, когда т-целое число [32, гл. 3]. Пока*
зать, что Ym(r) удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению и
рекуррентным формулам (Б.16), (Б.17), что и функции 1т(г).
(Действительно, для любого комплексного т пара Jm(r), Ym(r) образует
базис решений уравнения Бесселя (7.3).) Показать на основании этого, что
функции 4/'m(r, s) = = Ym(r)sm удовлетворяют формулам (7.15), а
следовательно, и тождествам (7.26), где матричные элементы Ti,(g)
определены в (7.22), Получить тождества для Ym(r), аналогичные
соотношениям (7.28) - (7,30). (См. [32, гл. 11].)
6. Простые многочлены Бесселя fm(r) определяются соотношением
fm (г) ¦¦
f-т, т+ 1 г \
= '4 - 2* / '
причем f-m(r) = fm-i(r) и /_i(г) = f0(г) = 1; см. (Б.18). Эти многочлены
удовлетворяют рекуррентным соотношениям
r2f'm (г) + (1 - mr) fm (г) = fm_! (г), r2fm (г) + П + (m + 1) rHm = fm+l
(г)-
Показать, что функции ^"(r, s) = fm(r)sm удовлетворяют , соотношениям
(7.15), где
Р° = sds, Р- = - s_1 (r% + 1 - rsds), Р+ = - s (r\ + r + l-p rsds).
Учитывая указанное выше, доказать, что
т (g)4i= ? Tt,(g)Vi,
1ш - ОО
где матричные элементы Г;/ определяются формулой (7.22) при т0 = 0.
Вычислить операторы T(g) и получить тождества для многочленов Бесселя,
аналогичные соотношениям (7.27)-(7.30). (Более подробно этот вопрос
рассматривается в [77, гл. 3].)
Глава 2 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2.1. Разделение переменных для уравнения Шредингера (idt + dxx)4(t,x)=Q
При квантовомеханическом изучении нерелятивистских систем в двумерном
пространстве-времени, состоящем в рассмотрении частицы (массы т) в поле с
потенциалом V(x), постулируется, что состояние системы в момент t
полностью определяется волновой функцией Чг(/, х), которая является
решением временного уравнения Шредингера
= _ [Щ2т)] дххУ + V (х)^, (1.1)
где ft =/г/(2л) и ft - постоянная Планка (см. [72]). (Константы ft и
ft2/(2m) играют исключительно важную роль в физике, но в этой книге они
оказываются досадной помехой, и поэтому мы выбираем основные единицы
измерения так, чтобы ft = = ft2/(2m)=l.) Наиболее важны те случаи
уравнения Шредингера, в которых потенциальная функция V(х) имеет вид,
указанный в табл. 5. В случаях (1) - (4) переменная х принимает
произвольные вещественные значения, в то время как в случаях (5) - (7)
предполагается, что х ^ 0. (Последний вид уравнения Шредингера получается
тогда, когда в пространстве-времени большей размерности вводится
сферическая или полярная система координат. Так, в случаях (5) - (7) х =
г - радиальная координата [72].) Андерсон с соавторами [3] и Бойер [20]
классифицировали все случаи уравнения Шредингера (1.1), которые допускают
нетривиальную алгебру симметрии. (Ясно, что любое уравнение Шредингера
допускает двумерную комплексную алгебру симметрии с базисом eft и Е= 1.
Под словом "нетривиальная" мы понимаем, что алгебра симметрии по меньшей
мере трехмерна.) Они показали, что такими уравнениями являются только те,
