Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
лежащих в достаточно малой окрестности единичного элемента.
С одной стороны, действие операторов Т (g) на базис функций ?т можно
определить из соотношения (7.11), когда значения а, р, т достаточно
близки к нулю. С другой стороны, можно записать
Т (g) = ехр (тР°) ехр (а.Р+ + рР_), (7.16)
где Р°, Р± определяются в (7.8), и, используя формулы (1.17),
(7.15), представить Т(^)Чгт в виде бесконечного ряда по функциям {гРт+я}.
Коэффициенты этого ряда полностью определены формулами (7.15); например,
Т (g (т> 0, 0))?m(r, s) = Wm(r, exs) =
= ехр (rP°) (г, s) = exmWm (г, s).
Несмотря на то что разложение Т(^)Чгт по элементам нашего собственного
базиса можно выполнить, используя непосредственно формулы (7.15),
значительно удобнее было бы найти и применить для этой цели упрощенную
модель этих выражений. Такая модель, аналогичная нашей модели L2(Si) для
пространства решений уравнения Гельмгольца, была построена в работе [83,
гл. 3]. Образующие алгебры Ли являются производными Ли по одной
комплексной переменной z; операторы
P+ = ~z, Р~ = - г~\ Р-г (d/dz) (7.17)
и функции базиса fm{r)=zm, m = mQ + л, удовлетворяют следующим
соотношениям:
(7.18)
104 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Ясно, что операторы (7.17) удовлетворяют соотношениям коммутирования
(7.7). Операторы T(g), определяемые соотношением (7.16), где Р°, Я*
задаются формулами (7.17), действуют на пространство о функций /(г),
аналитических в проколотой окрестности точки 2 = 0, т. е. не обязательно
аналитических в точке 2 = 0 и не обязательно однозначных (принимающих
прежнее значение, когда переменная описывает замкнутый контур вокруг
начала координат). Эти операторы легко вычисляются:
T(g)f(z) = exp(-aexz - $e-x/z)f(exz), f 0. (7.19)
Для определения матричных элементов Tij(g) операторов T(g)' относительно
базиса {fm, m = mo + п} мы имеем соотношение
ОО
Т (St) U+, <*> = ТЧ (St) /"" И. (7-20)
или (разделив обе части этого соотношения на zm°) соотношение
ОО
ехр (- aexz - $e~xlz + (m0 + /) т) z' = ? Tu{g)zl, (7.21)
/ = - ОО
& = &[*> a, P], 1 = 0, ±1,±2, ....
Заметим, что мы получили производящую функцию этих матричных элементов.
Вычисляя в явном виде коэффициент при г1 в разложении в ряд Лорана левой
части (7.21), получаем
f (g) = ехр [(m0 + I) т] (_ iy-z a(/-/+l /-/ |)/2p(/-z+| /-/1)/2 ^
I j 11!
X o-Fi (| / - /1 + 1; ap), /, / = 0, ±1, ±2, ... . (7.22)
Если afi = 0, то oFi = 1 и матричные элементы становятся элементарными
функциями, если же оф ф 0, то матричные элементы тесно связаны с
функциями Бесселя целого порядка.
Действительно, если ввести новые параметры р, со, определяе-
мые соотношениями
р = 21 сф I1'2 ехр [/' (arg a + arg р + зт)/2],
со = | а/p ф2 ехр [/ (arg а - arg р - л)/2\, (7.23)
- jx < arg а, arg р ^ я, а==р:о/2, Р = - р/(2оо),
то мы получим
ТИ (g) = ехр [(т0 + /) т] (- (р). (7.24)
(Заметим, что (7.21)-обобщение разложения (3.20).) Непосредственно из
свойства, имеющего место для представления группы, получаем тождества
ОО
T"(gg')= Е Tls(g)Tsj(g'), (7.25)
5 = -оо
1.7. Метод Вейснера 105
которые выполняются для g, g', достаточно близких к единичному элементу.
Кроме того, в работе [83, гл. 3] показано, что эти тождества фактически
выполняются для всех комплексных значений шести параметров, причем
групповое умножение определяется при помощи формулы (7.10). (Здесь
необходимо сделать оговорку: если то^О, то мы не можем идентифицировать
те групповые элементы, которые отличаются значением параметра т на целое,
кратное 2лг, как это было в случае Е(2)с. Формулы (7.25) связаны с
глобальными представлениями универсальной накрывающей группы группы
Е(2)с, а не с самой группой Е(2)с.) Формулы (7.25) являются обобщением
тождеств (3.44), (3.54) при / = 2. Работа [83] содержит целый ряд
примеров таких тождеств.
Матричные элементы (7.22) при g, достаточно близком к единичному
элементу, единственным образом определяются соотношениями (7.18);
следовательно, они должны быть такими же и для нашей модели уравнения
Гельмгольца, определяемой соотношениями (7.8), (7.11), (7.12), (7.15).
Отсюда
00
т (gyVnb+,(r, s)= ? Tll(g)4'mi+I(r, s), (7.26)
1= -oo
ИЛИ
Jm [r (1 + 2as/r)1/2 (1 - 2fJ/ srf2] =
00
= Z ^P(-n+|n|)/2a(n+|n|,/2oMI"[+l; aP)/m+"(r)s", (7.27)
Л--00
me C, | 2as/r | < 1, [ 2|3/(rs) | < 1.
Тот факт, что правая часть этого соотношения является разложением в ряд
Лорана по s, дает нам возможность определить границы области, где
разложение (7.27) имеет место. Такое разложение сходится в круговом
кольце pi <|s|< р2, где pi и р2 определяются особыми точками функции,
входящей в левую часть соотношения (7.27) [2].
Определенный интерес представляют некоторые частные случаи этого
тождества. Если р =0, s = 1, то (7.27) имеет вид
00
Jm[r (1 + 2a/r),/2](l + 2a/r)-m/2 = ? -b5il/"+"(r), (7.281
rt = 0
| 2a/r | < 1,
если же a = 0, s = 1, то (7.27) принимает вид
со
Jn[r (1 + 2p/r)1/2] (1 + 2p/r)m/2 = 2 Jm-n (r), (7.29)
л-0
I 2p/r | < 1.
106 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
