Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Se, но это уже решения не с разделенными переменными.
Теперь рассмотрим некоторые м.э. с. б., вычисленные в пространстве L2(R),
которые позволят нам связать разные базисы. В основном м.э.с. б. для
уравнения Клейна - Гордона довольно сложны, поэтому мы приводим здесь
только простейшие из них. Более подробно этот вопрос рассматривается в
[56, 95].
Наиболее просто вычисляются матричные элементы, когда берется
произвольный базис {/?} и декартов базис { (у) =
= 6 {у - Я)}. В самом деле,
</?. = (5-26)
а разложение функции Ф° по декартову базису имеет вид
оо
ф? ((, х) = I (/?) = 5 fn М (*. X) dX.
- оо
1.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 93
Матричные элементы для базисов М и (D, а) определяются соотношениями
</? ••
"Г г (1/2 - iX) (1/2- Ь, 1/2 - IX \1 Х[ Г (! - 6 - ii.) 1-6 -iX ~Ч\
+
, r , ,/m1 ^ (1/2-6, 1/2 +iX\ ,у|
+ exp[ гя(б+ 1/2)] r(I_6 + a) 2^1 ^ j _ б _|_ | !jj>
Г (1/2 + iX)
(fD-'na> ft) = (ft ftx). 6 = a + 2n < 0.
(5.27)
Мы получаем представление произведения функций Бесселя в виде интеграла
от функции Бесселя, используя м. э. с. б.
1 / а + 2п \1/2 / а>\Ы Г (a/2 +п - iX/2)
Г (1 + я + (а + 1Х)/2) '
(5.28)
и в виде интеграла от произведения функций Макдональда, если
воспользуемся м. э. с. б.
<"• •. (c)=к"+2") ц sh
п + (а -f гр)/2, п + (а - /р)/2 1 -(- а -(- 2 п
Х2 F
¦С
(5.29)
В [95] приводятся некоторые матричные элементы операторов Т (g) по базису
D, но эти выражения сложны. Виленкин [37] вычисляет матричные элементы
этих операторов относительно базиса М и получает сравнительно простые
результаты:
<Т (g)ft, ft) = ^(6, а. b) =
оо
= (2л)-1 ехр (гр0) ^ ехр [г(c) (a ch у + b sh у) + гг/ (X - p.)] dy,
- оо
g = g(Q, а, Ь), - оо < А,, р < оо, (5.30)
где g дается формулой (4.5). Теорема сложения для этих матричных
элементов имеет вид
J Ttlv(gi)Tyh(g2)dv.
(5.31)
94 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Существуют следующие частные случаи:
ГцХ(0, 0, 0) = ^96 0i-A),
Гцх (О, а, 0) == (i'/2) ехр [(А, - р) я/2] Я'/^-Х) (аа),
Гцх (9, - а, 0) = (- i/2) ехр [(р - А) я/2] Я?|ц_х) (аа),
^(О, 0, ft) = я-1 ехр [(р - А) я/2] /С/ох-х) (aft),
Т'цх (°. - Ь) = п~1 ехр [(А - р) п/2] Кцк-v) (aft),
Гцх (0, а, а) = (2я)-1 ехр [(р - X) п/2] Г (/А - гр) (аа)' (Д-Х),
7Vx (0, - а, - а) - (2я)-1 ехр [(А - р) я/2] Г (/А - гр) (<ва)'
Т'цх (°. - а, а) = (2я)-1 ехр [(р - А) я/2] Г (гр - iX) (аа)'
Т'цх (°. а> - а) = (2л)~1 ехр [(А - р) я/2] Г (гр - гА) (аа)' {Г'~Ц),
а > 0, ft>0, (5.32)
где Н^(х)- функции Ганкеля, которые можно выразить через функции
Макдональда:
я(tm) W = -д-ехр (- ~) К, [ехр (=^-) *].
"l?W_^exp(^)/Cv[exp(f)x]. <5'33)
Заметим, что теорему сложения (5.31) следует применять очень осторожно,
так как интегралы в (5.30) и (5.31) не обладают абсолютной сходимостью. В
самом деле, некоторые матричные элементы являются обобщенными функциями.
Эта проблема осложняет наш анализ уравнения Клейна - Гордона, так как для
большей части собственных базисов, допускающих разделение переменных,
интеграл (5.1) не обладает абсолютной сходимостью. Причина этого
затруднения состоит в том, что ядро H(y,t,x) интегрального преобразования
(5.6) не принадлежит L2{R). Чтобы выйти из положения, мы позволили t и х
принимать комплексные значения, такие, что 1т(/± х) > 0. Тогда Я(•,/, х)е
L2(R), и вычисление интегралов упрощается. Решения уравнения Гельмгольца
Ф (t, х) = I{h) больше не принадлежат 36, но все полученные нами формулы
разложения справедливы для этих решений в смысле поточечной сходимости.
Виленкин [37] использует аналогичную идею, чтобы придать смысл формуле
(5.31). Он полагает, что <в - комплексное число, такое, что Im <в > 0.
Тогда интеграл (5.30) для матричных элементов 7'м.х(0, a, ft) абсолютно
сходится для всех g(Q,a,b), таких, что а ± ft > 0. Кроме того, можно
легко показать, что произведение gig2 = g' двух таких элементов группы
обладает
1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца 95
тем же свойством а' ±Ь' > 0. Для этого множества элементов группы можно
дать строгое доказательство формулы (5.31) и вычислить матричные
элементы, получив при этом результаты, аналогичные (5.32). Вместо того
чтобы непосредственно доказывать справедливость формулы (5.31), Виленкин
осторожно переходит от случая Im (c) > 0 к пределу и получает
соответствующие тождества для вещественного (c). (В этом разделе мы
аналогичным образом получили собственные решения Ф(/, х) уравнения Клейна
- Гордона для вещественных t, х, переходя от случая Im(/±x)>0 к пределу.)
Тем не менее формула (5.31) дает правильные результаты.
1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца Рассмотрим уравнение Гельмгольца
вида
(дхх + дуи + ^(х, у)~0, (6.1)
где х и у - комплексные переменные, (c) - ненулевая комплексная константа,
a f - аналитическая функция от х и у. Вещественные уравнения Гельмгольца
и Клейна - Гордона можно рассматривать как различные вещественные формы
комплексного уравнения (6.1). Если х, у и (c) - вещественные величины, то
(6.1) - вещественное уравнение Гельмгольца; если же х = t', y - ix', а (c)
