Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
может найти много дополнительных сведений, касающихся свойств специальных
функций.
1. Гамма-функция
Гамма-функция определяется интегралом
оо
Г(г)= \е~Чг~1си, Re г > 0.
о
Аналитическим продолжением Г(г) можно расширить до функции, аналитической
на всей комплексной плоскости, з^ исключением простых полюсов при z = -п,
п = 0, 1, 2, ,,, , Функциональные соотношения:
Г (г + 1) - zT (г), Г (г) Г (1 - г) = л/sin nz.
Частные значения:
Г(л+1) = л!, n = 0, 1, 2, ...; Т(1/2) = л/п.
Биномиальные коэффициенты определяются соотношениями
= р(р- 1) ...(р - n-f 1)/л! = Г(|д.+ 1)/Г(р. п + 1)гг!.
(Б. 1)
316 Приложение Б
2, Гипергеометрическая функция
Гипергеометрический ряд, сходящийся при |г|<1, определяется следующим
образом:
2'
V п I /
п-О
где
'¦(VI*)-Е^**. (В."
' I ' ~ -Л
(а)о=1, (а)п = а(а + 1) ... (а -f п - 1), п- 1, 2, ..(Б.З)
есть символ Похгаммера. Аналитическим продолжением функцию 2Г1 можно
расширить до функции, аналитической и однозначной на комплексной г-
плоскости с разрезом вдоль положительной вещественной оси от +1 До +°°-
Интегральное представление:
,F' Сёь Iг) - тжпЬ" s1>" <¦1 -<'+<гг" л>
Re с > Re Ь > 0, | arg (1 - z) | < я.
При фиксированном z функция 2Л ^ ^ j 2^/г (с) является
целой функцией параметров а, Ь, с. Если а или b - отрицательное число, а
с не является отрицательным целым числом, то гипергеометрический ряд
сводится к многочлену от г. Дифференциальное уравнение:
z(\-z)^- + [c-(a + b+\)z\^-abu = 0. (Б. 4)
(а, Ь\ \
Это уравнение имеет решение u = 2Fy I \ZJ' ^сли с не яв" ляется целым
числом, то уравнение (Б.4) допускает линейно
1-0 с (а ~ С "Ь Г b ~ с+ И ^
независимое решение и = г1 гм1 2 с /
Дифференциальные рекуррентные формулы:
d v(a>b\ \ ab п fa+l'b+l\ ^
^24crJ=~24 с+1 г>
[гШ + а\гР'=а*Р'(?+с,Ь 14
[гШ+с-1]^ = {с~ lhF{ca-\ | г)'
[г(1- г)|С - bz + c - a\2F{ = {c - a)2Fx^ &| z^,
Основные свойства специальных функций 317
[(1 - - (a-f b- c)]2F, = (c - а) (с - Ь)с
| zj,
[z(l - z) Jj - bz + с- l]2Fi = (c - zj,
[(1 - z)^-- a]2F, ==а(6 - с) с 1 2Fi (
a -f 1, b c+ 1
\z{\ -z)j^ - (b + a - \)z + с - \ \2Fi =
- t i \ с fa - 1,6 - 1
-(c-1)2F.[ c _ j Соотношение симметрии:
ОН'О
(Б. 5)
Формулы преобразования fa, b
Частные случаи, (i) Многочлены Лежандра: 'п-f 1, - п 1
4^), в-О,
I, 2,
Pn(x) = 2Fi[r
(И) многочлены Гегенбауэра:
ГуГ,л_ Г(2у + п) /2у+и,-/1|1-Л
СТХ> Г(2v)я! 2р\ v+1/2 I 2 / ....
(iii) многочлены Якоби:
5(а, В),.л г /,п + а + Р+1,-"
РТ D,w
с:>с
а -f- 1
(iv) функции Лежандра:
и/г /"v + 1, - v
1
2
)."¦
:0 1 2 • U, 11 |
""-е±{Гл 11^)/г о-rt.
Q!J(z).= e',w2-v-I"I/2r (v + р + l)z-^-' (z2 - 1 f'2 X
X2f, (V/2 + Ц/2 +v1^V3//22+ Ц/2 + 1/21 z-2)/r (v + 3/2). (Б. 6)
318 Приложение Ь
3. Конфлюентная гипергеометрическая функция Функция определяется
рядом
сходящимся при всех z.
Интегральное представление: 1
¦Fl С 2) = rwn?-) S<"¦ Rec > Re" > 0.
1 о
Для фиксированного z функция является
целой функцией от а и с.
Дифференциальное уравнение:
2^ + (c-z)^-au = 0. (Б. 7)
Это уравнение имеет решение u = iFi^a|z^; если же с не
является целым числом, то уравнение допускает независимое
I р /я - с + 11 \ решение u = zl~c \F\[ л z I.
\ 2 с j /
Дифференциальные рекуррентные формулы:
Основные свойства специальных функций 319
Формула преобразования:
<
Частные случаи, (i) Многочлены Лагерра:
г(а)/ч Г (а + я + 1) " / -л| \ п . п
п (л:)-"Г(а+ 1) "I 1 \)' "=^0,1,2,..,;
(ii) функции Бесселя:
J e-l*mr fv + 1/2kvY
'v W - Г (V + 1) iFi V2v + 1 I J '
(iii) функции параболического цилиндра:
т) +
<Б'9>
4. Функции параболического цилиндра
Функция u = Dv(x), определенная формулой (Б.9ш), является решением
уравнения
^!-+(-+т-т)"-о- <Б-10>
Линейно независимым решением этого уравнения является
функция M = D_v_i(/z); если же v не является целым числом,
то решением будет функция Dv{-z). Если v = п = О, 1. 2, ..., то
Dn (г) = 2~л/2 ехр (- z2/4) Нп (2~1/2 г), (Б. 11)
где
Hn{z) = {- l)"exp(z(r))^-exp(-z2) (Б.12)
есть многочлен Эрмита порядка п.
Дифференциальные рекуррентные соотношения:
[ж + т] & = vDv-i (г), [- i + у] Dv (z) = Dv+l (z).
(Б.13)
S20 Приложение Б
5. Функции Бесселя
Функции Бесселя Jv(z) определяются соотношением (Б.9Н)' или соотношением
/v^ = T17+iro/?1(v + 1 |~Г")' |argz| < я, (Б.14)
где
оо
<БЛ5>
п=0
этот ряд сходится при всех х. Функция z~vJv(z)' является целой функцией
от z.
Дифференциальное уравнение:
3? + Т-§ + ('-'3-)"-0- <БЛ6>
Это уравнение имеет решения и\ = /v(z) и ы2 = J-v(z), линейно
независимые, если v не является целым числом п. Однако /_"(г) = (-
\)nIn(z), и при v = п функция /"(г) является единственным решением
уравнения (Б. 16), ограниченным в окрестности z - 0.
Дифференциальные рекуррентные формулы:
[-IF+ т17v (*)(*)' [i + т] 7v <Z> ^ 7-1 И* 17>
Функции, рассмотренные нами в разд. 2-5, являются либо
гипергеометрическими функциями 2^1, либо различными частными или
предельными случаями функции Однако функции, которые будут
рассматриваться в разд. 6 и 7, являются обобщениями функции 2^1, причем в
