Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 107

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 122 >> Следующая

dZj + tdt - sds - Z ZjUjdu/
E$k = 1 (1 - Zft) dzk + zk Zftd - Zj) dzf +
+ tdt - zksds - Z Ujdu^ ,
?p*v = ukt ((z*, - 1) дгй + "ftauJ,
?aY = s_1^-1 (21 2/(1 -Zj)dZj - z z,UjdUf + tdt- 1) ,
V'r' ( Z Zj (Zj - 1) dzt - tdt + zksds +
+ Z z,UjdUj - zk + 1) , Etk4 = Uklt~l (zk{zk- 1 )dzk + Zfc(2ft- l)z/dZ/-f
ZkSds- tdt +l),
*S;((** ~ z") <4 + " Ak)> К=~ d/2) tdt,
Hk = Ukduk - (1/2) tdt + (1/2) Z Ujdu
¦ /фи 1
Jy = tdt - (\/2) (sds+ Z"A/+ 1). 6. P=l. 2, ". (1.3)
Если пределы изменения j не указываются явно, то суммирование по /
проводится от 1 до ft, Действие этих операторов на
298 Г л. 5. Гипергеометрическая функция и ее обобщения
базис (1.2) задается формулами
Ь1 = (с - а - 1) Чг"+1, Ь1, ?ар^Ч'"' bi = 5Ь\
Ч = b^ \ EJV*- Ч = (с-а- 1) Wac'_\l,
EayW"' "' = ( ? 5, - с) ^"+1' bi, EyX' bi = (с - ?
Eawac-bl=(a- l)Wa-l'bi, ?PftT"'6/ = (c- ? b^Wa,S
Efikvwa. bj = b^h, EaX'b'=(a- 1)\
EahX'6/ = d -") 'Cl' h> EhX b'=(fl -c +
?pftWa; bi = bXc 6' "¦6ft+1 ¦" bp~l "¦6" AX' Ь1=(а- ФХС'Ь1,
k
lHX' 'l = (", - Ф + (1/2) Д 6,) 4? 'l,
2,4'/'*1 - [c - 0/21 (" + ?",+ ')]Ч'Г4 ". /J- 1...
Символы bk и 5* определяются следующим образом:
bk = bi bk_\, 5ft+1, 5ft+i 5",
5ft * 5i, .. •, 5ft_j, 5ft -- 1, 5/,+1, . * * * 5".
(1.4)
(1.5)
Чтобы получить дифференциальные рекуррентные формулы для функции Fd,
необходимо в обеих частях соотношений (1.4) исключить зависимость от s,
uj и t. При п = 1 эти соотношения принимают вид рекуррентных формул
(Б.25) для 2Fь
Соотношения (1.4) проверяются стандартными вычисления* ми. Легко
показать, что операторы (1.3) образуют базис для алгебры Ли sl(rt + 3,
.С) размерности (п + З)2-1. (Напомним, что SL(rt-\- 3, .С,) -группа всех
комплексных [(п + 3)Х X (п + 3)] -матриц А, таких, что detA = l.) Алгебра
Ли sl(rt + 3, "С-) группы SL(n + 3, G) состоит из всех комплексных [(п +
3)Х {п + 3)] -матриц s4-, таких, что irs4-=Q (см. [86]). Обозначая через
8 ц матрицу, элемент которой на пересечении i-й строки и /-го столбца
равен единице, а остальные элементы равны нулю (см. формулу (6.4) разд.
3.6), можно видеть, что матрицы 8ц, i?=i и 8ц - 8зз, 1<1,/^п + 3,
образуют базис алгебры s/(n + 3, С.). Соотношения коммутирования
получаются из общей формулы
[<^ц> ki] - bjk8ц - Ьц8kj. (1.6)
5.1. Функции Лауричеллы F0 29?
Можно проверить, что соответствующие соотношения коммутирования
удовлетворяются, если произведена идентификация
Еа = <§ 12, Еа = & 2ь = з.з.
4; = ^+з.Р+з. ^ = *81.
?у = -гг13, ?"Y = ^ 32, ?", = # 23.
= _ ^A+3i ь ?pAY = _ ^ ft+3, ?"P*v = _ ^+з_ 21
Ea$kY=- <^2,/fc+3> ^ax=1h(^' 11 - ^22),
V2 (^fc+з,ft+з - гГзз), ^y = 1/2(^33 - ^ll)> P^n,
кфр. (1.7)
Пусть
C* = ?a?p* -?aP*v?v, 1<?<л. (1.8)
Тогда легко проверить, что решение f системы уравнений
<У = о, 7J = (a-c/2)f, JtJ = (bk-c/2 + (l/2) ? bj)f,
'Фк (19) V = [c-(l/2)(a + Efty+l)]f, ft=l, .... л,
аналитическое в окрестности Zi = ... = zn = 0, имеет вид
f = FD(a; bx bn; с; zv z")sa"Jl • • • ы^с (1.10)
и единственно с точностью до некоторой мультипликативной константы.
Действительно, из последних л -f 2 уравнений следует, что
а из л первых уравнений вытекают уравнения
{(? ZjdZj + a)(zkdZk + Ьк) - dZk ( ? z,dZj + с - l)} F - 0,
ft-1, ..., я, (Lll)
т. в. дифференциальные уравнения в частных производных для функции Fd.
Операторы С* коммутируют не со всеми элементами алгебры sl(n -f- 3, ?).),
но каждый элемент оставляет пространство решений этой системы уравнений
инвариантным. Отсюда следует, что если W(s,Uj,t,zj)-решение уравнения СДР
= 0, k - 1, ..., л, представленное рядом Лорана
(1Л2^
300 Г л. 5. Гипергеометршеская функция и ее обобщения
и если Ч*1 - аналитическая функция при 2i = ... = z" = 0, го
где k - некоторая константа. Кроме того, элементы алгебры sl(n + 3, С)
отображают решение уравнения Ca'P = 0, 1 ^ k ^ ^ п, в другие решения
этого уравнения.
Теперь мы видим, что функции Fd получаются как решения с разделенными
переменными системы п дифференциальных уравнений в частных производных
второго порядка = 0, 1 ^ k ^ п, в координатах s, и,-, t, zp Чтобы
упростить эту систему, выполним ^-преобразование Ф = H'T, убрав тем самым
множитель Н из оператора Еу. В результате мы перейдем к новым переменным
v, v-,, до, до/, таким, что
В явном виде мы имеем
S=-1/V, Uj = - \/Vj, t = W, Zj = WWj/(Wj), 1 </<n, (1.14) а уравнения CW
= 0 принимают вид
В частном случае, когда п = 1, можно положить v - (z-f t) /2, v\ = {z -
t)/2, w = (ix + y)/2, W\ = (ix - y)/2, в результате чего уравнение (1.15)
примет вид комплексного волнового уравнения
решения которого вида (1.1.6) содержат функцию 2F\. Легко показать, что
алгеброй симметрии этого уравнения является алгебра о(6, C) = s/(4, С).
Возвратимся теперь к операторам (1.3) и определим действие группы SL(n+3,
С), индуцируемое этими операторами. Не определяя глобального действия
этой группы, укажем, что
gab}c = k(abjc)FD(a; blt ..., bn; с; z,
zn), (1.13)
Ea = dv, Е^ = дч, Еа^у = дщ, Ey = dw.
(dvdVk -dwdWk) Ф = 0, (1.15)
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed