Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
разд. 6 рассматриваются обобщения на дифференциальные уравнения более
высокого порядка, а в разд. 7 - обобщения на функции от нескольких
переменных.
6. Обобщенные гипергеометрические функции Функции pFq определяются
рядом г (а\,а2 а Л \
Аь,.ь2.......6,1 ,<а,: "г)~
4- (в.18)
1 Ц>\)п..(Ьд)п п\
л-0
Если параметры щ, bj выбираются так, что этот ряд бесконечен и его члены
не теряют смысла, то можно показать, что он
Основные свойства специальных функций 321
сходится при всех г, если p^q, сходится при |z|<l, если Р = q + 1> и
расходится при всех г ф 0, если р > q -f- 1. Дифференциальное уравнение:
•••(zi + ^-1)"=°- (БЛ9)
Это уравнение имеет решение и - pFq{ai\bj\z), и, за исключе-нием случаев,
когда параметры a,-, b/ выбираются особым способом, это единственное
решение уравнения (Б.19), ограниченное в окрестности точки г = 0.
Дифференциальные рекуррентные формулы:
(*-JT + "0 /"<<¦<; */; г) = а1/ф"| + .....| гф
+ Ь, - 1) ,Р,(а,; Ь,; *>-<".- D[6i _ Ц ..., J *]'
Ь}, Z) 6] ... 6^ Р^1 ^ ^ > ^)*
(Б. 20)
Соотношение симметрии: функция pFq(ai; Ь,; г) является симметрической
функцией от аь ар и Ьи bq.
7, Функции Лауричеллы
Функции Лауричеллы являются обобщениями функции 2Л на случай п переменных
ги гп. Они подразделяются на четыре класса:
FА [ц" bl> • • •" Ьп, Cl, • • ., Спу Zl, . . ., Zyi\ -
- V V (a)mi+ ••• +mn(bl)mi ••• (6к)тп zf1 ...
_m"lo * ' ' m"to ^4-^4 (Б'21)
|Zi | + . . . + | Zn [ < 1,
Fв [^ь • • • > any b\y • • •, Ьщ cy Z\y. • •, Zn]==x
= V V (ai)mi ••• (an)mn(bl)mt ••• (bn)mn zj"1 ... z(tm)n L "' L {c) +
m.l ... mn\>
m^-0
|z}| < 1 |zj < 1,
322 Приложение Б
Fc[a; b; Cl c"; zi zn] =
Д Д (a)m + _i_ m (6)m , , " ,ml
V V 1 + >1 ml + '~~+m'l 1 Zn /С go\
L'" Ln Ып, •••Ы,пп
m j-0 m/i"°
|z,p/2+ ... + | |1/2 < 1,
(Б.24)
и
/*D [П!, ... " Ьп, C, Zli ... , Zn\ -
yi yi (а)т!+...+тп (6l)m, ••• (bn)mn Z] 1 ... Z"n
m,=0 mn"'°
|Zi | < 1, . . . , |z"| < 1.
В следующем разделе мы рассмотрим функции, которые нельзя получить как
частные или предельные случаи функций гипергеометрического типа.
8. Функции Матье
Дифференциальное уравнение Матье имеет вид
//2"у
-^p- + (a-2<7cos2*)u = 0, (Б. 26)
где обычно переменная х имеет вещественное значение, а q - заданный
вещественный ненулевой параметр. Если решения уравнения (Б.25) подчинить
условию периодичности и(х) = = и(х-\- 2л), то это уравнение можно
рассматривать как задачу Штурма - Лиувилля на собственные значения а. Из
общей теории задач на собственные значения следует, что существует
счетное бесконечное множество таких собственных значений, причем все они
вещественны, имеют кратность, равную единице, ограничены снизу и
стремятся к +оо. В силу свойств симметрии уравнение (Б.25) имеет четыре
типа периодических решений (называемых функциями Матье первого рода или
просто функциями Матье):
00
(i) се2П (x,q) = ? A(tm) cos 2тх,
т-О
00
(И) ce2n+i(x,q)= Z^2m+iUcos(2m-f \)х,
т"- О
00
(Hi) se2n+i (х, q) = ? Bsim+i" sin (2m + 1) x,
m-0
Основные свойства специальных функций 323
Коэффициенты А, В зависят от q, и рекуррентные формулы для этих
коэффициентов легко получить подстановкой выражений (Б.26) в уравнение
(Б.25) [7]. Собственные значения а, отвечающие функциям се2я, се2я+1,
se2"+i, se2n+2, обозначаются через din, а2я+1, Ьгп+и Ьгп+г- Этими
собственными значениями являются такие значения а, при которых функции
(Б.26), коэффициенты которых определяются рекуррентными формулами,
принадлежат Li[-я,я], т. е. такие, при которых эти функции интегрируемы с
квадратом. Всегда можно выбрать коэффициенты таким образом, чтобы они
были вещественными, а функции Матье нормировать так, чтобы
Я
^ [u{x)fdx = n. (Б. 27)
-Я
Кроме того, в силу такой нормировки
lim се0 (*, q) = 2~1/2,
q+О
lim cen(jc, q) = cosпх, limse"(*, q)= sinwc, пфО. (Б. 28)
"•>О 7->0
Приложение В
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В этом приложении перечисляются основные свойства эллиптических функций,
необходимые для работы с настоящей книгой. Подробные сведения
относительно этих функций можно найти в работах [7, 17, 125].
Эллиптические функции зависят от комплексной переменной z и вещественного
параметра (модуля) к, который в настоящей книге всегда удовлетворяет
условию Osgl&^l. Дополнительный модуль имеет вид к' =(1 - &2)1/2, 1 ^ к2
0. Эллиптические функции sn(z, к), сп(z,k), dn(z, к), или сокращенно sn
z, сп z, dn z, определяются соотношениями
snz 1
J.[(i_/2)(i-k42)]~Wdt= J [(1 -/*)(Л/8 + Л8/8)]-1/8Л="
0 сп*
1
= \ [(1 -f)(f-k'2)y^dt. (В.1)
dhz
Значения этих интегралов зависят от контуров интегрирования, и эта
зависимость отражается на свойствах периодичности эллиптических функций.
При к-*- 0 мы имеем
sn(z, k)-> sin z, cn (z, k) -*¦ cos z, dn(z,?)-"-l, а при к-*-1
sn (z, 6)-*th z, cn (z, k) -*¦ 1/ch z, dn (z, k) -*¦ 1/ch z.
Свойства периодичности:
sn (z + 2K) *= - sn (z), sn (z + 2iK') = sn z,
cn (z + 2K) =* - cn (z), cn (z + 21K') = - cn z; (B.2)
dn (z + 2K) = dn (z), dn (z -f 2iK.') (r)= - dn z.
Эллиптические функции 325
