Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
образуют базис алгебры Ли Sp, q.
2. Используя дифференциальные рекуррентные формулы (Б.20) для обобщенных
гипергеометрических функций pFq, определить действие алгебры
q на базисные функции
{П, U,, z) = pFq ("' | г) t"' • • • <"рн?" ... ubqo.
3. Показать, что дифференциальное уравнение (Б. 19) для функции pFq
эквивалентно уравнению Lp_ = 0, где
L = Е**1 • • • ЕаР - ?а' " ' ^ЧЕв •••Ев
Р> ч ? ? ?0, ?ep.
4. Показать, что функции Ч*1^ > являются решениями Ч*1 (t{, Uj, z)
уравнений
Lp,qW = 0, TtW^aiW, Uk4 = bk4, 1 < / < p, 1 < k <?,
аналитическими при t = 0. (Этим доказывается, что функция pFq появляется
в результате разделения переменных в дифференциальном уравнении в частных
производных Lp, qW = 0.)
5. Доказать, что $Pl q - алгебра симметрии уравнения ip, = 0.
6. Получить тождества для специальной функции pFq, соответствующие
выражениям
ехр (c?Ul) Ч'"j, exp(cF0,) W%f и ехр (сДа''"0<О
Упражнения 309
получить
1т <1.
7. Используя метод Вейснера и выражение ехр (l?a') Ч'й'.0*, тождество
0 fu, at V Г (?-±") F Г"Л,а<|г'\т"
Р 17 V 6/ 1-т/ Zj Г (а) л! 6/ I /т'
п =0
8. Показать, что решение 'К уравнения Lp, "Ч7 = 0, такое, что
Еа'Чг = Чг, TiV = atV, 1;
t/ft'F = 6*^, 1 < fe < <7,
принимает вид
V^tix/tp) ехр (- tp'l)t"{ ... tapP-{'u^ ... ц^7,
т. e. показать, что 'К - решение с /^-разделенными переменными в
координатах tu ..., tp-1, ui uq, z/tp. Показать, что если 'F - функция,
аналитическая при 2 = 0, то с точностью до некоторого постоянного
множителя
f(x) = p-lFq (^ | *)¦
Применяя метод Вейснера, получить тождество
' п- О '
(Другие тождества для функции pFq, полученные теоретико-групповыми
методами, см. в [89].)
9. Используя дифференциальные рекуррентные формулы (Б.5) для 2F1,
доказать соотношения (1.4) для частного случая п - 1.
10. Доказать тождества (2.21) - (2.23) при п= 1; в этом случае указанные
тождества определяют производящие функции для 2Fj.
Приложение А
ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
В этом разделе приводятся некоторые необходимые для работы с настоящей
книгой основные факты, касающиеся групп и алгебр Ли. Полные
доказательства и подробный анализ этих фактов можно найти в работе [86].
Поскольку почти все группы Ли, с которыми приходится сталкиваться в
математической физике, являются группами матриц, мы ограничимся
рассмотрением локальных линейных групп Ли.
Пусть W - открытое связное множество, содержащее е = = (0, ..., 0) в
пространстве Rn всех вещественных я-наборов B = (gh ....г").
Определение. Любая я-мерная вещественная локальная линейная группа Ли G
является множеством невырожденных комплексных (m X т)-матриц A (g) = A
(gi, ..., gn), определенных для каждого g е W и таких, что
1) А (е) = Ет (единичная матрица);
2) элементы матрицы /4(g) суть аналитические функции параметров gi, ...,
gn, и отображение g->-/4(g) взаимно однозначно;
3) матрицы дА (g)/dgl, j = 1, ..., п, линейно независимы для каждого g е
W\
4) существует некоторая окрестность W' элемента е в пространстве Rn, W' a
W, такая, что для любой пары я-наборов g, h из W' найдется л-набор k <=
W, удовлетворяющий условию A (g)/4 (h)= А (к), причем в левой части этого
равенства производится обычное умножение матриц.
Локальную группу Ли можно рассматривать как окрестность единицы в
глобальной группе Ли. (С теорией глобальных групп Ли можно познакомиться
в [131, 134].) Если в приведенном выше определении W и W' являются
окрестностями элемента е е С/1, то G является комплексной локальной
линейной группой Ли.
Параметры g = (gi, •••, gn) определяют локальные координаты на группе G,
и можно показать, что гцупповое умножение
Группы и алгебры Ли 311
можно представить в локальных координатах через k = <p(g,h), где ф-
аналитическая векторнозначная функция своих 2п аргументов для g и h,
достаточно близких к е, и ф (е, g) = ф (g, е) = g. Любое преобразование
локальных координат g' = f(g) приводит к новой группе Ли, которую мы
идентифицируем с группой G.
Пусть g(0 -аналитическая кривая в Rn, такая, что g(0) = e. (Здесь i -
вещественный параметр, a g(/) определена и анали-тична по t при |/|< 1.)
Алгебра Ли % группы G является множеством всех (т\т) -матриц s& = (d/dt)A
(g(t)) |*=о, где g пробегает по всем аналитическим кривым, проходящим
через е. Отсюда следует, что каждая матрица является линейной
комбинацией п линейно независимых матриц
<g3/=(3y4(g)/(3g/|g=e.
П
Действительно, s&= Ха/^/.где Щ = (dgj/dt) (t) |*=о. Это го-
(r) /=1
ворит о том, что W является n-мерным вещественным векторным
пространством, на котором введено сложение и скалярное умножение матриц.
Матрицы образуют базис алгебры
Кроме того, матричный коммутатор \s&, Щ = - 9&si-
принадлежит ^ для любых В частности, [Wi,Ws] =
m
= Z Cl'Wfy I где CfS = Cj,is- Cftsl И
i = 1
= h)L = h=e' ф = (ф1' ••• ' фп)-
Экспонента (шХ tn)-матрицы s& является следующей (шХт)-матрицей:
оо
ехр [Ж) = ? (р\)~ Ыр. (А . 1)
р =о
В (АЛ) мы имеем сходящийся к аналитической функции ряд от элементов
матрицы^, причем ехр(,р?)ехр(-s&) = Emy и для (тХи)-матриц s4-, AS, для
