Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь К, К' определяются соотношениями
п/2
к (k) = 5 (1 - k2 sin2 0)-:dB, К' = К (k'). (В. 3)
о
Основные соотношения:
sn (- г) = - sn (г), сп (- z) = сп (z), dn (-z) = dn (z),
sn2z + cn2z = 1, &2sn2z + dn2z= 1. (В. 4)
Частные значения:
sn0 = 0, sn/f=l, sn (К + iK') - l/k,
cn 0 = 1, cn К = 0, cn (K + iK') = - ik'Ik, (B. 5)
dnO = 1, dn K = k', dn (K + iK') = 0.
В точке z = iK' все эллиптические функции имеют простые полюсы. Если z
возрастает от 0 до К, то функция sn z возрастает от 0 до 1, функция cn z
убывает от 1 до 0, а функция dn z убывает от 1 до k'. Если z меняется от
К до К -j- iK', то функция snz возрастает от 1 до k~\ функция cnz имеет
чисто мнимые значения и меняется от 0 до -ik'/k, а функция
dn z
убывает от k' до 0. Если z меняется от К + iK' до 1К', то функ-
ция snz возрастает от \/k до +°°, функция cnz имеет чисто мнимые значения
и меняется от -ik'/k до -г'оо, а функция dn z имеет чисто мнимые значения
и меняется от 0 до -too,
Производные:
d . d ,
-f- sn z = cn z dn z, - cn z = - sn z dn z,
d (B-6)
-j-dnz- - &2snzcn z.
Список литературы
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ.-
Харьков: Гос. научн.-техн. изд-во Украины, 1939.
2. Альфорс (Ahlfore L.). Complex analysis.- New York: McGraw-Hill, 1963.
3. Андерсон, Кумеи, Вульфман (Anderson R., Kumei S., Wulfman C.).
Invariants of the equations of wave mechanics, I, II. - Rev. Mexicans
FIs., 1972, t. 21, 1-33, 35-57.
4. Аппель, Кампе де Ферье (Appell P., Kampe de Ferlet J.). Functions hy-
perg§ometriques et hyperspheriques.- Paris: Gauthiers-Vlllars, 1926.
5. Армстронг (Armstrong L., Jr.). Group properties of radial
wavefunctions.- J. Phys. Colloq., C4, Suppl., 1970, v. 31, 17-23.
6. - 0(2,1) and the harmonic oscillator radial function. - J. Math.
Phys., 1971, v. 12, 953-957.
7. Арскотт (Arscott F.). Periodic differential equations. - New York:
Macmillan (Pergamon), 1964.
8. - The Whittaker - Hill equation and the wave equation in parabololdal
coordinates. - Proc. Roy. §oc. Edinburgh, 1967, v. A67, 265-276.
9. Ахиезер H. И,, Глазман И. И. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. - М. - Л,- Гостехиздат, 1950.
10. Баргманн (Bargmapn V.). Zur Theorle des Wasserstoffatoms. - Z.
Physik, 1936, B. 99, 576-582.
11. - Irreducible unitary represetatlons of the Lorentz group. - Ann. of
Math., 1947, v. 48, 568-640.
12. - On a Hilbert space of analytic functions and an associated Integral
transform, I. - Comm. Pure Appl. Math., 1961, v. 14, 187-214.
13. Бейтмен (Bateman H.). Electrical and optical wave-motlon. - New York:
Dover, 1955.
14. - Partial differential equations of mathematical physics. - London
and New York: Cambridge Univ. Press, 1969.
15. -The transformation of the electrodynamical equations. - J. London
Math. Soc., 1909, v. 8, 223-264.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ.,
Т. I. - М.: Наука, 1973.
17 . Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ. Т. II. - М.: Наука,
1974.
18. Блумен, Коул (Blumen G., Cole J.). The general similarity solution of
the heat equation. - J. Math, and Mech., 1969, v. 18, 1025-1042.
19 . Similarity methods for differential equations. - Applied
Mathematical
Sciences, v. 13. - New York: Springer, 1974.
?0. Бойер (Boyer C.). The maximal kinematlcal Invariance group for an
arbitrary potential. - Helv. Phys. Acta, 1974, v. 47, 589-605.
Список литературы 327
21. - Lie theory and separation of variables for the equation iU,f + +
Да?/ - (а1х1+ ух1)и = 0, -SIAM J. Math. Anal., 1976, v. 7, 230-263.
22. Бойер, Вольф (Boyer С., Wolf В.). Finite SL(2,R) representation
matrices of the D? series for all subgroup reductions. - Rev. Mexicana
Fis., 1976, t. 25, 31-45.
23. Бойер, Калнинс, Миллер (Boyer С., Kalnins E., Miller W., Jr.). Lie
theory and separation of variables, 6: the equation iU,t + Д2?/ = 0. - J.
Math. Phys., 1975, v. 16, 499-511.
24 .----------Lie theory and separation of variables, 7: The
harmonic oscilla-
tor in elliptic coordinates and Ince polynomials. - J. Math. Phys., 1975,
v. 16, 512-517.
25 . Symmetry and separation of variables for the Helmholtz and
Laplace equations. - Nagoya Math. J., 1976, v. 60, 35-80.
26. Бойер, Миллер (Boyer С., Miller W., Jr.). A classification of second-
order raising operators for Hamiltonians in two variables. - J. Math.
Phys., 1974, v. 15, 1484-1489.
27. Бохер (Bocher М.). Die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie.-
Leipzig: 1894.
28. Брэгг (Bragg L.). The radial heat polynomials and related functions.-
Trans. Amer. Math. Soc., 1965, v. 119, 270-290.
29. Буххольц (Buchholz H.). The confluent hypergeometrlc function.- New
York: Springer, 1969.
30. Вайнстейн (Weinstein A.). The generalized radiation problem and the
Euler - Poisson - Darboux equation. - Summa Brasil. Math., 1955, t. 3,
125-146.
31. - On a Cauchy problem with subharmonic initial values. - Ann. Mat.
Pura Appl. (4), 1957, t. 43, 325-340.
