Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
которых s4-3! - 9&S&, имеет место соотношение ехр (s&) ехр (Л#) = ехр +
9&).
Обозначим элементы матрицы через s&i/, 1 ^ i, j ^ m, и определим норму
матрицы s& через || si || = max | s&u\. Суще-
". /
ствуют положительные числа е и б, такие, что (1) exp(j^)e G для каждой
матрицы S& е если ||^|| < е, и (2) каждую матрицу Леб, для которой ||А -
?т||< б, можно представить как Л=ехр(^) для единственной матрицы ie?,
11^11 < е. Экспоненциальное отображение является взаимно однозначным
аналитическим отображением окрестности нулевой матрицы в &
312 Приложение А
на окрестность единичной матрицы Ет в G. Представляя А че-
п
рез ехр(^), где s4-= можно параметризовать G, ис-
пользуя канонические координаты он, ..., а".
Пусть U - открытое связное множество в Ср. Любую точку z е U можно задать
через ее координаты: z=(zu ..., zp), 2/е С. Пусть Q - отображение,
которое каждой паре (z, А), z е U, Де G, ставит в соответствие элемент
Q(z, А), принадлежащий <СР. Будем писать Q(z, А) = гА е <Ср.
Определение. Если Q удовлетворяет следующим условиям:
1) гА - аналитическое отображение от р + п координат точки z и матрицы А;
2) zEm = z для всех z е [У;
3) если zA е U, то (zA)B = г^АВ) для всех А, В е G, таких, что АВ е G,
то л-мерная локальная линейная группа Ли G действует на множество V как
локальная группа Ли преобразований.
Предположим, что G - локальная группа Ли преобразований на множестве U и
что ЕГ- пространство всех функций f(z), аналитических в окрестности
фиксированной точки z° е U. (Предполагается, что окрестность зависит от
функции.) Локальная мультипликативная функция v для этой группы
преобразований представляет собой скалярнозначную аналитическую функцию
v(z,А) от р + л координат, ге(/, Деб, и такую, что (1) v(z,?'m)=l и (2)
v(z,AB) = v(z,A)v(zA,B) для А, В, AB^G. Заметим, что v(z, Л)=1-
(тривиальная) локальная мультипликативная функция. (С общей теорией
локальных мультипликативных функций можно познакомиться в работе [83].)
Локальное мультипликативное представление Т, соответствующее G, U, ST, v,
является отображением Т(Л) пространства ЕГ на себя, определенным для Деб
и fej' посредством соотношения
[l(A)f](z) = v(z,A)f(zA). (А. 2)
Так как v - локальная мультипликативная функция, то
1) Т (Em)f = f для всех f е ЕГ\
2) T(AS)f = Т(Л) [T(S)f] для всех Л, SeG, достаточно близких к Ет.
Пусть A(g(/))-однопараметрическая кривая, принадлежащая G, с элементом
алгебры Ли
П
•*'=-?л(*(/))|г_0 = ?а/"'/, (А. 3)
/-1
как определено выше. Пусть Т - мультипликативное представление группы G и
f
Группы и алгебры Ли 313
Определение. Обобщенная производная Ли Бл функции f является
аналитической функцией
D*f(z) = -t[T (Ag (/))/] (z)|t_0. (А. 4)
Непосредственные вычисления дают
А* = I ? Рц (*) *,дг1 -f t а/Я/ (z), (А. 5)
где зависит только от rfe?, а не от возможных кривых g(/), которые
приводят к s4-. Элементы P//(z) вычисляются од* нозначно по Q(z, Л), а
элементы Р/(z) -по v(z, Л). В частности, если v 1, то Р/е= 0 и Отбудет
обыкновенной производной Ли.
Приведенные ниже теоремы, часто используемые в настоящей книге,
предложены Софусом Ли [83, 86].
Теорема А.1. Обобщенные производные Ли локального мультипликативного
представления образуют алгебру Ли относительно операций сложения
производных и скобки Ли
[Dji, Dss] = DrfDeg - DssDrf. (A. 6)
Эта алгебра является гомоморфным образом алгебры 8:
0(ал+ь&) = аЭл + bD$, Э\Л, $] = [Эл, D&\, (А. 7)
s4-,$S<=.8, a,b^R.
(Смысл равенств (А.6) и (А.7) состоит в том, что они выполняются на любой
функции / е
Теорема А.2.
оо
[Т(ехр №) П (*) " (z) = (А< g)
~ (ехр Ол) f (z), s?<~8.
(Этот результат справедлив для всех t^R при достаточно малых | /1.)
Теорема А.З. Пусть
D,= t Рц (г) dZ{ + Pi (г), / =...1.п, (А. 9)
г-1
суть п линейно независимых дифференциальных операторов, определенных и
аналитических на некотором открытом множестве U s Ср. Если существуют
вещественные константы cjh, та-
314 Приложение А
кие, что
[D{, Dk] = t cU Du К i, k < n, (A. 10)
to Dj образуют базис алгебры JIu, т. е. алгебры обобщенных производных Ли
для локального мультипликативного представления Т локальной группы Ли G.
Имеется базис {Wj} алгебры Ли $ группы G, такой, что
№i,vk]=tcik%.
i-i
Действие группы G получается интегрированием уравнений
П П
= Yj РЧ "/• v (z°' ехР = Z a!pt (z W).
/-1 /-1
(A. 11)
еде
z (0) = z°, v (z°, Em) = 1, z(/) = z°<"p <*-*",
(A. 12)
a ^ определено формулой (A. 3).
Приложение Б
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом приложении мы собрали, как в справочнике, некоторые основные
определения и формулы для тех специальных функций, которые наиболее часто
встречаются в настоящей книге. Все эти функции (за исключением гамма-
функции и эллиптических функций) являются решениями дифференциальных
уравнений, получающихся в результате разделения переменных в уравнениях
математической физики. Условные обозначения, которыми мы здесь
пользуемся, предложены Бейтменом (см. [16, 17]); в этих работах читатель
