Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
exp(A?av) W(s, и/, /, Д7) = у(1+\а; . uh t, (2.9)
При малых |Я| мы имеем
ехр (КЕау) ЧГС- Ь1 = ? ( ? bl ~ С ) ЬЛ1>
ft-0 ' h /
т. е.
(1 + Я,) aFo (a; b/\ с; ) =
= 2Д 77Г^(а + Л; br, c + hi Zj)Kh, ] Л ] < 1. (2.10)
/i-о Ч h s Л
5.2. Формулы преобразований и производящие функции для FD 305
При X = 1 и |т|< 1, где т = функция ехр(?av)bl не
будет аналитической при Z\ = z2 = ... = zn = т = 0. Применяя оператор
exp(?av) к (2.6) и используя (1.12), (1.13), получаем
(1 + т) а Fo{a', bj\ а + X - с + 1; Т(1 - 2/)/(1 + т)) =
оо
= Z BhFD (- h\ bj\ с - a - A; zj) т\ (2.11)
h-0
Чтобы вычислить константы Вщ положим z\ = ... = zn = 0:
(1 + т) а Fd bj\ а + X bi - с + 1; т/(1 + т)^ =
оо
= (1+T)-a2?ifa; ?*,; a + 5>|-с+1;г/(1 + гЛ = Хя*т\
\ I I ) h-О
Таким образом,
s*=(Tk'L+"z;,-!'+J']=
"( Л ) (,+ ?",-,+ ,), ¦ (2Л2)
что следует из [83] и теоремы Вандермонда [117].
Разлагая Т, (Л) в степенной ряд по t = s_1, мы получаем
0-V(i
оо
= ^вл(-^^;2,)т' (2.13)
л=о ¦
Полагая zl = ... = zn = 0 и используя тождество (5.124) работы [83], мы
находим
В*=(т)а°~1'"'с'( ЬУЫ у'а|_^)' ай~Ьс=1-
(2.14)
Если a=b=d= 1, а с - 0, это тождество принимает вид
оо
(1 + *Г" Fd (а; у; т+^) = ? ( , " ) Ро (- Л; fy; у> zj) Т*.
Л"° ' | т | < 1; (2.15)
306 Гл. 5. Гипергеометрическая функция и ее обобщения
если же а = с = 1, b = - w~x, оно сводится к соотношению
П
(1 + t)"+?p/-y ti + (1 _ w) т]-" д tl + (1 _ Zl) т]-е, х
/ - ZjXW \
XfDVa; РI' Y; [l + (l-w)T][l + (l-Z/)T] ) =
==z( /iV)2fl( у' I a')/?D(- h> P/! v; z,)th, (2.16)
Л"=0
|т| < min(l, | 1 -г; I-1, I 1 - twf1)-
В общем случае производящие функции для Fd можно получить, потребовав,
чтобы решение W уравнений CftW = 0, 1 sg; k ^ п, являлось общей
собственной функцией п + 2 коммутирующих (или почти коммутирующих)
операторов, построенных при помощи обвертывающей алгебры алгебры sl(n-\-
3, С). Такое требование к функции ставится уравнениями (1.9).
В качестве примера найдем решение Чг системы уравнений
?aW = W, JpW=fpft + V2 Е Pz-VsY^. k=l,...,n,
V 1Фк } (2 17)
(/, + 'Ш W = (3/4Y - Vs S Р/ - Vs) 4. Ck4 = 0, K ' 1
аналитическое при z\ = ... = zm - 0. Первые n + 2 уравнений имеют общее
решение
W = / (zjs'j exp (- s~ ') ... uPn /y,
где / - произвольная функция. Подставляя это выражение в уравнения = 0, 1
^ k ^ п, получаем
(P.)m,...(Wm" X?1
(1 Ч п. ,а Ч V* • • • УРп)тп Х\ ¦¦•ХП
= Е (Ч)Д|м..
ту=0 1
= 11m fD(a; у; г;/а). (2.18)
а->оо
Разлагая Ti(/l)4r в степенной ряд по т = s_I, мы имеем ехР [- ('|Т+ст )]
+ CT)S3/_V Д [a + ст (1 - zz)]X
i=i
X Ф (Р/, Y. (а ст) [а ст (1 _ )
оо
= EoBaFd(- h\ fy; у; z/)x,!, ad -?с = 1. (2.19)
5.2. Формулы преобразований и производящие функции для FD 307
Полагая z\ = ... = zn = 0 и используя производящую функцию (4.11) разд.
2.4 для многочленов Лагерра, получаем
Вн = а" V6/a тнЬ{ГЦ ((ас)-1), (2.20)
где L"(г) - обобщенный многочлен Лагерра. При Ь = с = 0, а = d = 1
тождество (2.19) упрощается и принимает вид
оо
ехр(-т)Ф(р/; у; z/t) = X FD(-h\ fy; у; Z/)(-г)л/Ы. (2.21)
ft=0
При a = с = d~l = w~l/2, b ~ 0 мы имеем exp[~+ -r)Sef-v[I + т(1 -zi)]-01
...
... [! + ,(!-*")]->¦ ф[^|"+т)"Т""-""|]-
= Y, L<H~1){w)FD( 'Mz/It1, lTl < min(l,|z/- 1 r1) 0 \ Y 1 /
(2.22)
Если b = -c = 1, a = d = 0, то функция Ti (4)ЛГ принимает вид
es(l - zi)'3' ... (1 |т=17)ы?'
Разлагая эту функцию по степеням переменной s, мы получаем "*(1-21)"
Л> 4- А; Р/1 \ s*
= LFd{ у Ытг (2-23)
ft-0 1 1
Заметим, что функция Ф, определяемая соотношением (2.18), является
конфлюентной формой функции FD- При п = 1 мы имеем
•СЮ-'-СЮ-
Нужно также заметить следующее: мы показали, что система уравнений (1.15)
допускает частичное ^-разделение переменных в координатах z,/s, s, Uj, t
и что решения с частично разделенными переменными характеризуются
операторными уравнениями вида (2.17). Исчерпывающая классификация
производящих функций для функции Fd возможна лишь после классификации
систем координат, допускающих частичное разделение переменных для
уравнений (1.15),
308 Гл. 5. Гипергеометрическая функция и ее обобщения
Используя дифференциальные рекуррентные формулы, которым удовлетворяют
функции Ф и другие конфлюентные формы функции Fd, можно построить теорию
алгебры Ли этих функций. Соответствующие алгебры Ли можно также получить
как сужения алгебры симметрии функции FD [91].
Функции Лауричеллы FA, FB, Fc также являются обобщениями функции 2F1 на
случай п переменных и могут изучаться при помощи методов теории алгебр Ли
(см. [92, 93]). Однако не все рекуррентные формулы, которым удовлетворяет
функция 2F1, можно перенести на эти функции, представляющие поэтому
меньший интерес, чем функции FD. Аналогичным образом при помощи методов
алгебр Ли можно изучать и обобщенные гипергеометрические функции pFq
[89].
Упражнения
1. Вывести соотношения коммутирования и показать, что 2(р + ?)+1
операторов
Eat = tt (zdz + (tdtl), E0k = 4 1 (< + ukdUk - l)f
ЕаГ"&ч = tv--tpuy-uqdz, Ti = ttdtv Uk = UkdUk,
t - 1, ..., p, k=\ q,
