Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Из (1.2) следует, что уравнения (1.15) имеют решения фа- bi = Ъ1 =
С С
-ПтгЯ. ь
{дп - дхх - дуу - дгг) Ф (t, х, у, г) = 0,
5.1. Функции Лауричеллы Fn 301
каждый из следующих триплетов:
(Л Г, /°} ^ {Еа, Еа, /J, {Е^, Eh, /"J,
{Е\ Е" 7V}, {?а(5*\ ЕаМ, /" + Jh + /J,
{Еа\ Еау, Ja + 7V}, {Е*ь\ Ehy, Jh + JY}, °'17)
ElPt' !<*<"> 1 <Kp<n,
удовлетворяет соотношениям коммутирования
[J\J±]=±J±, [/+,/-]-27°
и образует базис подалгебры алгебры s/(n-f-3, С), изоморфной алгебре
s/(2, С.). Кроме того, каждый триплет порождает локальную подгруппу Ли
группы SL(n + 3, С), изоморфную группе SL(2, С.); полученные таким
образом подгруппы порождают полное действие группы SL(n + 3, G).
Используя соотношения
Т(Л) = ехр(- &сГ'/+)ехр(- с dJ~)exp(xJ°), ехр(т/2)=d~l, (1.18) где
Л = (" rf)s"(2.C)
(см. (4.14) разд. 2.4), перейдем от действия алгебры Ли, порождаемой
операторами (/+, /°), к групповому действию. Мы
видим, что триплет {?", Еа, Ja} порождает групповое действие
Т,(Л)^(д, и" (, г,) =
as + с Uj(as + c) ts
]•
d + bs ' as + с (1 - zj) ' as + с ' (d + bs) (as - czy + c)
(1 •19)
а триплет \E k, E$k, - действие
^2, k (^) ^ (^> ^/>
/ slau.+c) u, , au.+c u.t
= 44 V"Ti -Г > (auk + c), . , i --------------------------,
yauk + c(\-zk) uky d + buk auk + с
aukz! + c(zl~zk) zkuk
), (1.20)
auk + c(\-zk) ' (d+buk)(auk-czk+c
k=*^\, . .., tl,
302 Гл. 5. Гипергеометрическая функция и ее обобщения
В (1.20) / пробегает значения от 1 до п, исключая k. Триплет {Е*, Еу, Jy}
порождает действие
Тз(Л)?(5, и" t, Zj) = (a -f с//)-1 X
X ? (s (d + Ы), и, (d + bt), (at + c)/(d + bi), [dz, -
-bt(l-Zl)\(a + c/t)), (1.21)
триплет + hk + / J - действие
T4. k (Л)?(5, ujt uk> i, zh zk) = [a + С (1 - zk)/(ukts)]~l X
[cz. Г asu.t - cz. 1 aS~TJ' Ul [ asukt + cz, - czk J '
Триплет {Eay, Eay, Ja -f Jy) - действие
Т5(Л)?(5, ujt t, Z/) = (a -c/(st))~lX
ywr_i_ uisi ai-l (123)
ast - cZj ' s' (ast-czfiid-bst) ]' u"°}
триплет {?PftV, ?pAv" hk + ^v} - действие 4 k (A)^(s, uh uk, t, zh zk) =
[a + c/(ukt)]~lX
/ su.t и. с z,(au.t + c)
X4r\aukt + czk * "/• d + bukt ' + aukt + czk '
(dzk + bukt) (aukt + c)\
(d + bukt)(aukt + czk))'
а триплет - /р j - действие
^*7" A. p (-^) ^ (^> ^Ai ^p* ^A> ^p) *
= шГо " "*"p "РЦА , dZA"p + 4"A
d"p + 6"A' auA + cup- l'zl' dup+buk '
az.u. + cz.u" \
auk+cup )' KA<P<". (1.2B)
Каждый из операторов Т*(Л) отображает решение 'К системы уравнений СаТ =
0, 1 < А < л, в другое решение.
Чтобы вычислить матричные элементы групповых операто^ ров Т;(Л)
относительно базиса {Т"'6/}, полезно построить более
5.2. Формулы преобразований и производящие функции для FD 303
простую модель соотношений (1.4). Такая модель определяется функциями
/&§ b t / л а b ш jC
с l(s, Ur /) = 5 Ы,' •••"// от п -f- 2 комплексных переменных и
операторами
Еа = s (idt - sds - 1), ?ap*v = sulidUk, E^ = u\dUk,
Ey = rx{tdt-sds- 1), ?a = s-1(sd,-l), (1.26)
-l
Ецк = ик1 (tdt- ?ы/<3И/) . 1<?<п,
порождающими алгебру s/(n + 3, С.). Некоторые примеры матричных
элементов, вычисленных таким способом, и соответствующих производящих
функций для Fd и 1^2 можно найти в работах [91] и [83, гл. 5].
5.2. Формулы преобразований
и производящие функции для функций Fd
Теперь покажем, что формулы преобразований для функций FD определяются
свойствами группы симметрии SL(ti -f-3, G). Пусть
/ = (_1 o)eSL(2, С); (2.1)
тогда из формул (1.2) и (1.19) следует, что
/г\>тг а,ь, / 1\а+с ^ а)^ (а) ^ ( , 2/
Т,(/)ТС /=(-1)--------------- --------------FD{a; bj', с; --j-lj-jx
X (! - z\)~bl ' ' ' (1 - zn)~bn s°~au\l • • • unnf. (2.2)
Однако функция T] (7)4'"'является общей собственной функцией операторов
Ja, /р и 7V, аналитической при z\= ...
... -zn = 0. Следовательно,
Т, (/) Va; bi = kFD (с - а; Ъ{, с; z,) • • ¦ "V. (2.3)
Полагая в (2.2) и (2.3) z\ = ... = zn = 0, вычислим константу k и получим
формулу преобразования
(1 - г,)-6' • • • (1 - zn)~bn Fd (a; fy; с; -j4rf) = FD(c - a; bс; zf)
1 (2.4)
304 Гл. 5. Гипергеометрическая функция и ее обобщения
(см. [4, гл. VII]). Подобным образом Т2 k(I)Ar°' °! дает формулы
(1 - zk)~a Fu (a; bh bk\ с; > Z*L x ) =
= F D^a; bh с - ^ br, c\ zIt , k=l(2.5)
Остальные формулы преобразований для функции FD полу* чаются комбинациями
(2.4) и (2.5). Формулы преобразований для функции 2Fi следуют из (2.4)
при п=1.
Вычисляя T^/)'?"'6/, мы находим, что функция
Ed (а; b,\ а + Z bi - с + 1; 1 - z^ , (2.6)
аналитическая при Zi = ... = z" = 1, является решением уравнений (1.11).
Вычисляя Тз^Ч^'6/, мы видим, что функция
z~bi ... z~VD(Z bt - с+ 1; bf, Z bt - a + 1; zj^ (2.7)
является еще одним решением уравнений (1.11). Подобным образом Т6> к (/)
bl дает решение
z~aFD(a; br а - с+1; а - Ьк + 1; (2.8)
' k k '
Если А находится в окрестности единицы группы SL(2,&), то функции (Л)
Чг"' Ь1 можно разложить при помощи матричных элементов, полученных из
рекуррентных формул (1.4). Если же А находится далеко от единицы (скажем,
А = 1), то эти разложения неприемлемы. Рассмотрим, например,
