Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
совершенно аналогичными тем, которые мы применяли при исследовании
уравнения (1.1), при изучении уравнения (5.1) появляется несколько новых
типов нерасщепляющихся систем координат. Например, диагонализация
оператора Р2-\-Р3
Упражнения 295
сводит уравнение (5.1) к двум уравнениям:
(<300 ~ <5ц + w2) Ф = (<522 + <5зз + w2) (c) = 0. (5.4)
где Ч* = Ф0. Возможные системы координат, допускающие разделение
переменных для приведенных уравнений, можно найти в табл. 1 и 2.
В следующей главе будет дан анализ явной связи между функциями 2Л и
волновым уравнением.
Упражнения
1. Вычислить алгебру симметрии волнового уравнения (1.1).
2. Пусть уо = cos а, у\ = sin а cos а, у2 = sin а sin а, где (ф, а, а) -
координаты (2.6), в которых уравнение (1.1) имеет решения с ^-
разделенными переменными. Показать, что, подставив в волновое уравнение
? = [cos о - cos ф]1/2 ехр [- гф (/ + '/г)] Ф (уи у2, Уз),
мы получим приведенное уравнение (rf2 -1- Г|3 + Г23) Ф = - /(/+ 1) Ф, т.
е. уравнение на собственные значения для оператора Лапласа на сфере Щ, +
у\ + у1=\- Здесь Г12, Г18, Г2з - обычные операторы момента импульса на
сфере.
3. Показать, что пространство операторов симметрии второго порядка в
обвертывающей алгебре алгебры so (2, 1) по модулю оператора Казимира
разбивается сопряженным действием группы SO (2, 1) на девять типов орбит.
(Указание: эта задача эквивалентна классификации классов эквивалентности
вещественных симметрических (З 'Х 3)-матриц Q относительно преобразований
Q-"-A'QA, A е SO (2, 1); подробности можно найти в работе [38].)
4. Показать, что уравнение ЭПД (4.5) допускает разделение переменных в
координатах
* = >/,["+ г)1,2 + "-Л у = 7г [(/ + г)112 - (< - г)1/2],
t ± г > 0,
соответствующих операторам Г23, {Г51, Г41 -f- Г45}. Решения с
разделенными переменными являются произведениями функций Бесселя [62].
5. Как показано в тексте, функция Ф (ха,г) является решением уравнения
ЭПД
(Ло - дгт ~ + m2r~2) Ф = 0
тогда и только тогда, когда ?т = е*тфФ - решение волнового уравнения
(1.1), где xi = rcos<p, х2<= г sin ср. Таким образом, решения волнового
уравнения, являющиеся собственными функциями оператора •М12 = дф,
соответствуют решениям уравнения ЭПД. Используя выражения [iMt2, ± Щц + -
f М02] = =р(±<Л1о1 + М02), вывести дифференциальные рекуррентные формулы,
отбражающие решения уравнения ЭПД при m = m0 в его решения при m = mo =F
1 соответственно. Аналогичным образом остальные операторы симметрии Ли
волнового уравнения отображают множество решений уравнения ЭПД во
множество решений этого же уравнения (см. [94]).
Глава 5
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
5.1. Функции Лауричеллы FD
Гипергеометрическая функция Гаусса 2FX тесно связана с уравнением Лапласа
и волновым уравнением в четырехмерном пространстве, а также с
комплексификациями этих уравнений. Функция 2FX появляется в результате
разделения переменных в указанных уравнениях, а использование конформных
групп симметрии дает возможность объяснить многие ее свойства. Но мы
избрали иной подход к изучению этой функции: в настоящей книге
исследуется непосредственно сама гипергеометрическая функция, а также
некоторые из ее обобщений, полученных за последние 150 лет.
Функции Fa, Fв, Fс и FD (см. (Б.21) - (Б.24)), введенные Лауричеллой
[73], известны теперь под названием функций Лауричеллы; детальное
исследование этих функций провели Аппель и Кампе де Ферье [4]. Из
степенных рядов, которыми определяются функции Лауричеллы, сразу следует,
что эти функции являются обобщениями функции 2Fi на п комплексных
переменных: при п = 1 каждая из функций FA, Fв, Fс и F0 сводится к
функции 2F1. Хотя функции Лауричеллы впервые были получены не в
результате разделения переменных, мы увидим, что их можно получить
частичным разделением переменных в системе п дифференциальных уравнений
второго порядка в частных производных. С теоретико-групповой точки зрения
самым интересным обобщением функции 2FX являются функции Fd\ поэтому мы
проведем тщательное исследование этих функций, получая результаты для
функции 2F\ в предположении, что п = \. Как следует из (Б.24),
зависит от п + 2 комплексных параметров a, bj, с и п комплексных
переменных гх, ..., гп. При п - 1 мы имеем
Ad [а; b Ьп; с; ги гп]
5.1. Функции Лауричеллы FD 297
Используя разложение (Б.24), мы получаем дифференциальные рекуррентные
формулы для функций Fo, а затем на основании этих, рекуррентных формул
строим алгебру Ли. Вычисления проводятся так же, как и ранее, поэтому мы
приводим только полученные результаты. Определим семейство функций
bn(s, ", ип, 1, z,, z") = bi (s, ur t, z;) =
д*~СГ(Дс)Г(°' fo(a; 61> •••> bn> c> zi......zn)s"ub' •••"*< 0-2)
где c-7^=0, -1, -2, ..., a s, щ, t - комплексные переменные. Кроме того,
определим операторы
?" = s ( Z z,dZl + sd*) * = sukldzk,
E*k = uk(zkdzk + ukduk), ?v=^_1 (Z ZjdZj + tdt - 1^,
Eay - st^ 21 (1 - Zj) dZj - sd^,
Ey = t[ 21 (1 - zj) dZj + tdt - sd.- 'Z UjdUjy Ea = s-1 ( 21 z, (1 - Zj)
