Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
оо < v < оо, k\=k cos 0, k2 = k sin 0. Таким образом, задача определения
собственных функций сводится к рассмотрению гильбертова пространства, в
котором действие группы 50(2, 1) задается операторами
Mi2 = de> Af0i = - sin 0d0 - (iv + Чг) cos 0,
M02 = cos Qde - (i\ + Ч2) sin 0.
Эти операторы определяют унитарное неприводимое однозначное представление
группы 50(2,1), принадлежащее основной серии: / = -'A + i'M (см. [11,
120]). Коль скоро собственные функции ftVct(0) второго оператора в
строках 16-23 табл. 20
288 Г л. 4. Волновое уравнение
определены, соответствующие решения с разделенными пе* ременными
уравнения (1.1) можно получить, используя формулу
2л
'I've W = p'v_1/2 (4я)-' Г (1/2 - /V) J ехр [± in (1/2 - iv)/2] X
О
XI So - Si cos 9 - s2 sin 0 |iv~1/2 hva (0) dQ, (3.9)
где имеет место знак +, когда So - si cos 0 - s2 sin 0 > 0, и знак -,
когда это выражение <0. Спектральные разложения операторов 16-23 и
различные м.э. с. б., вычисленные в L2(S2)-модели, можно найти в [57].
(Вычисление матричных элементов смешанных базисов, соответствующих
системам координат, которые отвечают различным подгруппам, см. в [53].)
4.4. Уравнение Шредингера
и уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу
Особый интерес представляют системы координат, допускающие разделение
переменных в уравнении (1.1) и такие, что базисные функции 41 являются
собственными функциями оператора Po + Pi'- (Ро + Л)^ = /pi?. В этом
случае мы имеем Ч1(л;)= ег*РФ(/, х2), где 2s = х0 + х\, 2t=xi-x/0.
Приведенное уравнение для Ф является уравнением Шредингера для свободной
частицы
(№ + dXtX№(t, х2) = 0. (4.1)
Это уравнение имеет операторы симметрии Ж - Р2, Ж_2 = Р1-Р0, Хо - Ро + Ри
Xi = l/2(M02-Ml2), Ж0 = - D - М01, Ж2=Ч2(К0 + Кд, (4.2)
коммутирующие с Ро + Pi = Хо- Как было показано в разд. 2.1, эти
операторы образуют базис для шестимерной алгебры Шредингера $2-алгебры
симметрии уравнения (4.1). (Заметим, что перенормировкой / и х2 константу
р в уравнении (4.1) можно сделать равной 1.) Пары коммутирующих
операторов, соответствующие системам координат, которые допускают решения
с разделенными переменными уравнения (4.1), перечислены а табл.-21.
(Координаты 3" эквивалентны координатам 3 табл. 18.) Эти результаты
следуют из табл. 6. Заметим, что в этом случае определяющие операторы в
обвертывающей алгебре имеют первый, а не второй порядок. Это объясняется
тем, что в уравнениях с разделенными переменными данные операторы имеют
первый порядок. Все перечисленные ранее системы координат полупод-групп
были ортогональны относительно метрики Минковского,
4.4. Уравнение Шредингера и уравнение ЭПД 289
Таблица 21
3" Р0 + Р1, Я2 Свободная частица
24 Ро + Р\, Ро - Р\ - Гармонический осцилля-
тор
25 Л0 + Л> ~ Р\ + аМ12 - аМ02, Линейный потенциал
аф 0
26 Ро + Pi, D + Ма\ Репульсивный осцилля-
тор
однако четыре системы координат, перечисленные в табл. 21,
неортогональны.
Условие (Р0 + P\)f = ifif в Ж+ влечет f(k) = "6(" - Р)/р(и), где Р > 0, u
= ko~k 1, v = ki. Таким образом, вычисление функции /р сводится к
рассмотрению гильбертова пространства L2{R), в котором действие группы
Шредингера задается операторами
Ж0 = ф, ЛГ_, = -"", Х, = (Р/2)<9У, X° = -'/2-vdv,
Ж_2 = - /ц2/р, Ж2 = -1 (p/2) dvv. (4'3)
Как показано в разд. 2.1, эти операторы определяют неприводимое унитарное
представление группы Шредингера в L2(R). (Действительно, при р=1,
применяя преобразование Фурье, можно показать, что операторы (1.24) (см.
разд. 2.1) унитарно эквивалентны операторам, рассматриваемым в настоящем
разделе, а при р ф 1 результаты, полученные нами ранее, можно
модифицировать, с тем чтобы получить глобальное групповое действие.) Как
только собственные функции /рц(и) вторых операторов в строках 3", 24-26
табл. 21 будут определены, соответствующие решения Д'рц с разделенными
переменными уравнения (1.1) можно получить из формулы
оо
4V (•*) = (4я)-1 ехр (/ps) ^ ехр [- / (и2//р 4- их2)] /p(i (и) dv. (4.4)
- оо
Теперь определим системы координат, допускающие разделение переменных для
уравнения (1.1) и такие, что базисные функции Ч1, являются собственными
функциями оператора Mi2: = imW. Имеется соотношение W(х)= е1тчф(хо, г),
где X\ = r cos <р, х2 = r sin <р, а функция Ф удовлетворяет уравнению
Эйлера - Пуассона - Дарбу ')
(д00 - дгг - г~'дг + т2г~2) Ф = 0, (4.5)
') В дальнейшем будем называть это уравнение уравнением ЭПД.- Прим.
перев.
290 Гл. 4. Волновое уравнение
или, как следует из (1.14iv),
(Г*5 - Г2, - Г*и) ф = (Г23 + >/4) ф = - (т + V*) (т - >/*) Ф. (4.6)
Алгеброй симметрии уравнения (4.5) является алгебра sl(2,R), порождаемая
операторами Г45, Г41, Г51, а группой симметрии этого уравнения является
(если m целое число) группа SL(2,R):
[Г 41, Г 51] = - Г45, [Г41, Г45] = - Г si, [Г5Ь Г45] = Г41. (4.7)
В работе [62] показано, что переменные в уравнении ЭПД /^-разделяются в
точности для девяти систем координат, соответствующих девяти типам SL (2,
R) -орбит операторов симметрии второго порядка в обвертывающей алгебре
