Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 104

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 122 >> Следующая

алгебры sl(2, R) по модулю оператора Кэзимира Г45- Г41 - Г51. В табл. 22
приведены только операторы, отвечающие решениям с ^-разделенными
переменными уравнения (1.1), а также соответствующие решения с /?-
разделенными переменными уравнения (4.5). (При этом операторы связаны
следующими соотношениями: Г23 = t2,
Г51 = D, Г45 = (Р0 - Ко)/2, Ки =(Ро + Ко)/2.) Системы координат,
допускающие истинное /?-разделение переменных, отвечают строкам Г и 29-31
этой таблицы.
Таблица 22
Операторы Функции с разделенными переменными
Г Г22з. 4 Экспоненциальная Г егенбауэра
4' 4> (Г45 + r4lf Экспоненциальная Бесселя
16' Г2 Г2 23' 51 Экспоненциальная Присоединенная Лежандра
27 4- 2Г241 + {Г45> Г41} Присоединенная Лежандра Присоединенная
Лежандра
28 4. 2Г45 + {Г45. Г41} Присоединенная Лежандра Присоединенная
Лежандра
29 4- Г2, + а (Г45, Г51} Ламе - Вангерина Ламе - Вангерина
30 4- 4+"4 а > 0 Ламе - Вангерина Ламе - Вангерина
31 г2 0г2 -1- Г2 1 23- 01 41 т 1 51 а > 1 Ламе - Вангерина Ламе -
Вангерина
32 4 {Г51. Г41 + г45} Бесселя Бесселя
4.4. Уравнение Шредингера и уравнение ЭПД 29\
Условие Mi2f = imf в 2>ё+ влечет /(к) = eim0jm(k), где т = = 0, ±1, &i =
&cos0, &2 = Asln0. Задача определения собственных функций сводится к
рассмотрению гильбертова пространства А2[0, оо], в котором действие
группы SL(2,R) определяется операторами
Г45 = (ik/2) (-dkk - k dk-\-mk 2 + l),
Г41 = {ik/2) (dkk -f- k ldk- mk 2+l), Г5! = kdk -f- V2.
Это действие неприводимо и унитарно эквивалентно однозначному
представлению группы SL(2,R), но не SO(2, 1) из отрицательной дискретной
серии ?)fm 1-1/2, что можно видеть из
(4.6) и (2.2). (Сравните с разд. 2.3.) Действительно, собственные
значения оператора Г45 в этой модели имеют вид /(я-f '/г). n = \m\, |m|-f
1, |m| + 2 Эта модель оператора DJ изучалась многими авторами (см.,
например, [22, 97]).
Как только собственные функции jmil(k) вторых операторов, представленных
в табл. 22, определены, соответствующие решения с разделенными
переменными уравнения (1.1) можно вычислить, используя формулу
оо
Ч'тц М = ехр [im (0 - л/2)] ^ ехр (ixQk) Jm (kr) jmVk (k) dk. (4.9)
0
Вообще говоря, уравнение ЭПД (4.5) можно изучать для любого вещественного
т> 0. Системы координат, допускающие разделение переменных, и модель
(4.8) остаются теми же, но группа симметрии, так же как в разд. 2.3,
становится универ-
г*-"
сальной накрывающей группой SL(2,R) группы SL(2,R). Отображение из L2(0,
00) в пространство решений уравнения (4.5) имеет вид
оо
Ф (*о. г) = ехр (- tmn/2) ^ ехр (ix0k) Jm (kr) f (k) dk = U [/],
(4.10)
0
причем соответствующее скалярное произведение
оо
(Фь ф2) = (!и /2) = I 5 ф1 (хо, г) д0ф2 (х0, r)r dr =*
о
со
= Ф2 (лг0, г) a0Oi (*о, Г) rdr (4.11)
о
не зависит от xq. Анализ спектральных разложений операторов, определяющих
решения с разделенными переменными, можно найти в работе [62],
292 Гл. 4. Волновое уравнение
Мы определили решения Фт уравнения ЭПД (4.5) как решения волнового
уравнения (1.1), которые являются собственными функциями оператора L = -
iMi2: = mWm, =
= е'ш<Рфт(лго, г). Для комплексификации so(3, 2)с ^ so(5, С) конформной
алгебры симметрии можно взять базис {L/}, такой, что [L,Lj] = ajLj, где
а; = 0, ±1. Действительно, соотношения коммутирования
[L, Р\ ± г'Р2] = ± {Р\ ± г'Р2), [L, Мй\ ± гЛ402] = ± (440i ±
М402),
[L, К1±гД2]=±(К1±гД2), а также тот факт, что [L, L'] =0 для L' = D, Р0,
Ко, обеспечивают такой базис. Из этих соотношений следует, что L,lFm
является собственной функцией оператора L с собственным значением m -f
а,- = т, т ± 1, т. е. L/ (е'тфФт)=ехр [г (т -f at) ф]Ф",+аГ Выделяя
множитель, зависящий от ф, мы видим, что каждый оператор симметрии
отображает решение уравнения (4.5) для т в решение для т + а,-. Подобным
образом операторы (1.12) индуцируют отображения множества решений одного
уравнения ЭПД в множество решений другого уравнения так же, как это
производится некоторыми операторами группы симметрии.
Мы видим, что этот ряд рекуррентных формул, связывающих различные
уравнения ЭПД друг с другом, является прямым следствием конформной
симметрии волнового уравнения, из которого в результате частичного
разделения переменных получается уравнение ЭПД. Вайнстейн [30, 31],
изучая краевые задачи для уравнения ЭПД, применил две такие рекуррентные
формулы. Полное теоретико-групповое исследование дается в работе [94];
там же показано, что формулы квадратичного преобразования для функции 2F\
[16] связаны с конформной симметрией волнового уравнения.
Мы упомянули все полурасщепляющиеся системы координат для волнового
уравнения, за исключением некоторых любопытных неортогональных систем,
которые соответствуют диагонали-зации оператора '/2^12 + 'ДДо - 'Д^о и
которые рассматриваются в работах [59, 61]; в работе [61] изучены также
некоторые сильно сингулярные решения, получающиеся в результате того, что
диагонализация некоторого оператора первого порядка определяет
соответствующие координаты не единственным образом. Ортогональные
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed