Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 105

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 122 >> Следующая

нерасщепляющиеся системы координат рассматриваются в [60].
4.5. Волновое уравнение (ди - А3) lF(x) = 0
Вещественное волновое уравнение в четырехмерном пространстве-времени
(<5оо - <5ц - <322- <?зз)'F (х) = 0 (5.1)
4.5. Волновое уравнение (3" - Дз)Чг(х) = О 293
можно во многих отношениях считать наиболее значимым в нашей книге.
Общеизвестно, какую роль играет уравнение (5.1) в физике [13, 109]; для
нас же важен тот факт, что почти все уравнения, рассмотренные нами в
предшествующих главах, либо являются частными случаями уравнения (5.1),
либо получаются из него частичным разделением переменных. Более того, в
то время как волновое уравнение в трехмерном пространстве и его
комплексификация связаны с производящими функциями для функций и
многочленов Гегенбауэра, уравнение (5.1) связано с производящими
функциями для гипергеометрической функции Гаусса общего вида и
многочленов Якоби.
Несмотря на то что в данное время уравнение (5.1) интенсивно изучается с
теоретико-групповой точки зрения, результаты, представленные в настоящей
работе, все еще носят фрагментарный характер. Мы укажем здесь только
некоторые основные особенности проблемы разделения переменных для
уравнения (5.1) и дадим краткий анализ работ, посвященных этому вопросу.
В работе [15] вычисляется пятнадцатимерная алгебра симметрии so(4,2)
уравнения (5.1), которую можно получить по очевидной аналогии с алгеброй
симметрии уравнения (1.1). Эта группа симметрии, локально изоморфная
группе SO(4, 2), называется конформной группой. Она содержит следующие
подгруппы: однородную группу преобразований Лоренца SO(3, 1), группу
Пуанкаре ?(3, 1) и компактную ортогональную группу SO (4, R). Имеет место
также симметрия инверсии, аналогичная /; см. (1.12). Применяя
преобразование Фурье, можно построить гильбертово пространство Ж+ решений
с положительной энергией, в котором определяется унитарное неприводимое
представление конформной группы. Это осуществляется по аналогии с тем,
как было получено соотношение (1.20); подробные выкладки см. в работах
[46, 66, 139].
Предполагается, что решения с /^-разделенными переменными уравнения (5.1)
являются общими собственными функциями триплетов независимых
коммутирующих операторов не выше второго порядка в обвертывающей алгебре
алгебры so (4,2). Рассмотрим несколько достаточно подробно изученных
частных случаев.
Ограничивая алгебру симметрии уравнения (1.1) до компактной подалгебры
so(3), мы приходим к оператору Лапласа на сфере S2 и получаем две системы
координат, допускающих разделение переменных для соответствующего
уравнения. Подобным образом ограничивая so(4, 2) до компактной подалгебры
so(4), мы получаем оператор Лапласа на единичной сфере S3 в четырехмерном
пространстве. Этот оператор исследован в работе [64], где показано, что
уравнение на собственные значения
294 Гл. 4. Волновое уравнение
допускает разделение переменных точно в шести системах координат,
связанных с шестью парами коммутирующих операторов симметрии второго
порядка в обвертывающей алгебре алгебры so(4). Изучена также связь между
алгеброй so(4) и уравнением Шредингера для задачи Кеплера в случае трех
пространственных переменных.
Диагонализация оператора симметрии Р0 = д0 сводит уравнение (5.1) к
уравнению Гельмгольца, которое допускает разделение переменных в
одиннадцати системах координат. Диагонализация оператора Р3 = <5з сводит
уравнение (5.1) к уравнению Клейна - Гордона
(<Эоо-<Эц-<Э22 + <о2)Ф = 0. (5.2)
В работе [60] дается классификация ортогональных относительно метрики
Минковского 53 систем координат, допускающих
разделение переменных уравнения (5.2). Диагонализация опера-
з
тора симметрии растяжения ? ха.да сводит уравнение (5.1) к
ct*>0
уравнению на собственные значения для оператора Лапласа на гиперболоиде в
четырехмерном пространстве. Это приведенное уравнение имеет в качестве
группы симметрии однородную группу преобразований Лоренца 50(3, 1) и
допускает разделение переменных в 34 системах координат, причем каждая
система соответствует паре операторов симметрии второго порядка в
обвертывающей алгебре алгебры so(3, 1); см. [63, 107]. Диагонализация
оператора Ро + = до + <5i сводит уравнение (5.1)
к уравнению Шредингера для свободной частицы
(<Рд* д22 ^зз) Ф = 0, (5.3)
которое допускает разделение переменных в 17 системах координат.
Аналогичным образом диагонализация оператора симметрии М2з = х2д3 - хъд2
дает приведенное уравнение, подобное уравнению ЭПД. Бейтмен [14],
используя комплексификацию приведенного уравнения, полученного в
результате диагонализа-ции операторов М23 и Af0i = хйд\ + х\дй, нашел
производящие функции для многочленов Якоби, а Корнвиндер [69, 70]
применил это уравнение для исследования теоремы сложения для многочленов
Якоби. Хенричи [132] воспользовался этим же уравнением, чтобы получить
производящие функции для произведений многочленов Гегенбауэра.
Хотя все перечисленные выше системы координат были получены методами,
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed