Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = со“4с/со2 + со“2 (d62 + sin26dip2). (7.24)
Обычная процедура конформной компактификации состоит в переходе к ds2 = Sllds с Sl0 = со , что, конечно, приводит к сжатию пространственной бесконечности в точку. Персидес предлагает "наполовину" конформное преобразование с SI = со, под действием которого метрика g-,j переходит в
g}j = diag (со-2, 1, sin20). (7.25)
Таким образом, совершается сжатие поверхности г = const, но беско-
нечность сжимается не так сильно (не в точку), как в обычном конформном подходе. В (7.25) компонентами расходится на /, ад22 и д^з.ре-гулярны. Компоненты контравариантной метрики З?# = ST gij = = diag (со2, 1, sirT20) регулярны на бесконечности, правда, ^11 обращается в нуль. Ненулевая на бесконечности метрика определяется соотношениями
*cji = diag [ (1 - со2), 1, sin“20].
Отсюда по стандартным правилам находятся кодариантные компоненты метрического тензора:
g,-j = diag [(1 - со2)”1, 1, sin20]. (7.26)
После такого двойногр преобразования получается метрическое нефизи-ческое многообразие Tl с естественной гладкой границей. Хотя предыдущие рассуждения были проделаны в специальной системе координат, можно сформулировать понятие асимптотически простого 3-мерного мно гообразия в ковариантном виде.
Определение [105]. Трехмерное многообразие Tl (без границы) с положительно определенной метрикой д асимптотически простое (на пространственной бесконечности) тогда и только тогда, когда сущест-
165
Рис. 7.16. Диаграмма Пенроуза в подходе Персидеса
вуют:
1) многообразие TL с границей !& и положительно определенной метрикой д класса С в открытой
окрестности U, & С U С $L \
2) гладкое скалярное поле SI; >
которого справедливо
& - Ут&пП т а п = ?2-Vу - ?1~4д,т</п П ш П „ . (7.27)
Последнее условие заменяет дц = Sl2g-j, возникающее при конформной компактификации. Точно так же, как и в конформном подходе к исследованию асимптотической структуры пространства-времени, в методе Персидеса содержится достаточно большой произвол, связанный с неоднозначным выбором нефизической метрики $, HO он позволяет изучить более широкий класс пространств. Так, решение НУТ не является асимптотически простым в духе Пенроуза, так как изотропная бесконечность имеет топологию S3, а не S2 х Rt но подходит под определение Персидеса асимптотически простого пространства-времени [66].
Дальнейшее развитие этих идей позволило описать временную, изотропную и пространственную бесконечности с единой точки зрения на чисто геометрическом языке, без привлечения уравнений Эйнштейна [105]. Плоская асимптотика вводится из требования совпадения внутренней геометрии всей границы в целом с внутренней геометрией границы пространства Минковского. Полная граница Sr состоит из пяти несвязных кусков
#= /"UA/' U/0 UAZ+U/4*,
где /* — временные бесконечности будущего (прошлого); Nt — изотропные бесконечности будущего (прошлого); I0 — пространственная бесконечность (рис. 7.16).
7.6. ГРУППЬ* АСИМПТОТИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
При исследовании проблемы энергии-импудьса в ОТО возникают трудности, связанны* с отсутствием группы Пуанкаре, благодаря которой в СТО удается сформулировать законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. В случае островных систем удается обобщить группу Пуанкаре, точнее выделить ее из полной группы асимптотических симметрий. Однако ситуация здесь не так проста, как может показаться на первый взгляд.
Как уже отмечалось в § 7.3, группа асимптотических симметрий должна быть устроена так, чтобы сохранять асимптотическую структуру про* странства-времени. Таким образом, из бесконечной группы координатных преобразований Goo4 необходимо выделить подгруппу G с этими свой-
166
ствами. К сожалению, группа G слишком "большая" — бесконечнопараметрическая. Отсюда возникает еще одна проблема: выделение конечнопараметрической группы, которую можно было бы связать с группой Пуанкаре.
Выделим из G преобразования, тождественные на бесконечности. Это преобразования калибровочного типа, асимптотически оставляющие неизменными полевые переменные, и они образуют нормальную подгруппу G0 CG [11]. Действительно, если д Є G ,д0 ^ G0 н { /О — пере менные, описывающие физические поля, то д0А = А. Пусть д'0 =ддод~ , тогда
д'оА = ggog~lA = дд~хА =A.
В силу произвольности переменной А отсюда следует, что дд0д~1 Є Go или gG0g~1 =Gо, но это и означает, что G0 является инвариантной подгруппой в G (нормальным делителем).
Если фактор-группа F = GZG0 изоморфна группе Пуанкаре F^P, то тем самым задача выделения подгруппы Пуанкаре из общей группы асимптотических симметрий G решена. Теперь можно сформулировать проблему в целом.
Проблема. Дана группа G. Требуется найти такую инвариантную подгруппу Gq, чтобы фактор-группа GZG0 совпадала (была изоморфной) с группой Пуанкаре.
Если такой подгруппы нет, то невозможно выделить калибровочно инвариантные переменные, т.е. наблюдаемые. Это следует из того обстоятельства, что калибровочные преобразования группы Gq соответствуют преобразованиям координат, не меняющим систему отсчета. Естественно предполагать, что группа преобразований от одной системы отсчета к другой должна быть изоморфна группе Пуанкаре. Итак, если из общей группы координатных преобразований не удается выделить группу, изоморфную группе Пуанкаре, то проблема наблюдаемых остается неразрешенной.
