Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура" -> 61

Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikapoleyobsheyteorii1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 75 >> Следующая


1) присоединить к физическому многообразию TJl бесконечно удаленные точки (границу); 2) компактифицировать Ж , т.е. перейти к нефизическому многообразию Ш с помощью конформного преобразования dS2 = Sl2dS2, где функция SI исчезает на бесконечности. Если первый

153

S -—:
Рис. 7.11. Потери на излучение и различные определения энергии

шаг — общий для всех подходов, то второй может и не совершаться [127] или совершаться частично [105]. После осуществления ком-пактификации физического пространства-времени Ж его асимптотические свойства и Физические поля в Ш можно исследовать, анализируя границу ЪЯ71 и поведение полей на ней. Для этого необходимо все понятия сформулировать в кон-формно-инвариантном виде.

Существуют два режима ухода на бесконечность: а) изотропный — по изотропным геодезическим; б) пространственноподобный. Основное различие между ними связано с тем, что метрика на световом конусе вырождена, а 3-мерная метрика пространственных сечений — нет. В результате этого возникают разные группы асимптотических симметрий, точное определение которых дано ниже, и, соответственно, в первом случае действует определение энергии-импульса Бонди [14], во втором — АДМ [5, с. 233]. Энергия Бонди определяется как интеграл по изотропной гиперповерхности (конусу будущего), в случае АДМ - как интегра8 по пространственноподобной гиперповерхности. Оба эти интеграла по теореме Гаусса переводятся в интегралы по границе. Тогда глобальная энергия (например, АДМ), определенная через интеграл по пространственноподобным гиперповерхностям Z1, D2' остается постоянной. Подсчитать таким способом потери энергии нельзя. Однако определение энергии по Бонди—Саксу через изотропные гиперповерхности Ni и N2 позволяет найти потери на излучение (рис. 7.11).

Гоуппа асимптотических симметрий определяется как группа всех диффеоморфизмов бесконечно удаленных точек, оставляющих инвариантными универсальные (т.е. геометрические) поля на бесконечности — границе многообразия Ш. Так, в электродинамике (СТО) в роли такой группы выступает группа Пуанкаре, а универсальным полем является плоская метрика. Считается, что группа асимптотических симметрий должна быть близка группё Пуанкаре (понятию близости здесь трудно придать точный смысл вследствие произвола в определении конформной структуры), но не может с ней совпадать. Последнее следует хотя бы из того, что векторы Киллинга — генераторы. поворотов и бустов (гиперболических поворотов) — становятся бесконечно "большими" на пространственной бесконечности и доминируют над трансляциями.

Конформная структура бесконечности пространства Минковского.

Следуя Пенроузу [101], рассмотрим структуру конформной бесконечности пространства Минковского. Пусть и = х° — г ; v = х° + г — запазды-

154
вающее и опережающее время соответственно;

г2 = (х1)2 + (х2)2 + (х3)2; X1 = rsin0cos</>; х2 = rsin.0sin</)

В этих координатах интервал записывается как

ds2 = Ofcy0Ti/ - (1/4) (V - и)2da2. (7.1)

Здесь

do2 = dO2 + sin 2Odif2.

Проделаем над (7.1) конформное преобразование:

Q1 = (1 + о2)”172 (1 + у2Г1/2. (7.2)

Тогда

. _ . dudv (v — и)2 dO2

dS = Я2 ds2 - ------------Г--------г--------------г--------г- . (7.3)

(1 + и2) (1 + V2) 4(1 + 1/)(1 + и2)

Для того, чтобы приблизить бесконечно удаленные точки, перейдем к координатам р, q: v = tgp; о = tgc/;

ds2 = dpdq - (1/4) sin2 (р - q)d о2. (7.4)

В координатах pf q пространство Минковского занимало область, ограниченную сторонами треугольника: р — q = 0; р = я/2; qr = —я/2 (рис. 7.12). Интервал (7.4) описывает метрические свойства компактного нефизического многообразия Ш . Серого говоря, из определения Ш следует выбросить вершины — точки /" /°. Особенности в этих точках координатные и аналогичны особенностям в начале полярных координат. Они устраняются после замены координат:

7* = (1/2) (р + q); R = q - р;

t/?2 = ?/7"2 - (1/4) [gW2 + Sin2ZTrfa2], (7.5)

где пространственная часть определяет метрику единичной 3-мерной сферы S3.

Конформный мир Минковского представляет собой часть статической вселенной Эйнштейна с топологией S3 х Rt и его удобно изображать на цилиндре, представляющем вселенную Эйнштейна (рис. 7.13). Этот вывод следует непосредственно из (7.5), поскольку (7.5) можно считать метрикой на поверхности цилиндра (0, $ = const).

Разберемся в смысле /~, д ~ , /°.

Точка /°. Эта точка определяется условием р = — q = я/2, что соответствует и = —V = °°. Отсюда следует, что точка /° описывает пространственную бесконечность: t — конечно; г = °°, причем /° изображается вЗЙ точкой, а не поверхностью (рис. 7.13).

Точки /“. Данные точки определяются условием р = -Q = ±я/2, что соответствует конечному г и t = ±°°. Таким образом, точки /- определяют временные бесконечности будущего и прошлого.

Точки поверхности 7“ определяются УСЛОВИЯМИ P = я/2 И (7 = —я/2 соответственно. В первом случае i/ = a — конечно; во втором ?/= °°,

155
Рис. 7.12. Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Все точки - сферы, за исключением / ~ /°, каждая из которых — точка
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed