Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В координатах {г, $, ip) пространственной бесконечности (г = °°) соот-ветствует г = 0. После конформного преобразования с SI = г 2 (1 — ?о?/4) (7.15) переходит е
dt1 = Sf dl2 = dr2 + r2do2
и определяет метрику плоского З-мернсуо пространства в сферической системе координат. Отображение $ : Tl -+Tl аналогично стереографической
158
проекции плоскости на сферу (см. рис. 7.14). Как обычно, северный полюс соответствует бесконечно удаленной точке.
Исследуем с§ойства Tl вблизи границы /°. Как легко видеть, граница многообразия Tl , определяемая уравнением г = О, представляет собой точку. Таким образом, при конформной компактификации вместо естественной 2-мерной границы 3-мерного многообразия получается 0-мерная граница — точка /°. Немудрено, что при такой редукции размерности в /° возможны всякие неприятности, аналогичные, например, расходимостям в начале полярных координат контравариантных компонент метрического тензора. Первые и вторые производные конформного множителя SI имеют следующие предельные значения в /°:
SI = 0; ViSl = 0; V7VySi = 2дц. (7.16)
Для электрической EaQ = ^арРут^т^ и магнитной вар = со"
стреляющих тензора Вейля в координатах (г, в, ф) получаем выражения:
?‘1 = "jrTi—xTIT' в>‘ = 0:
г (1 - гог/4)
EtI2 = Езз/sin2^ = — (rQ/2)г (1 - г0г/4).
Отсюда видно, что вблизи пространственной бесконечности компонента Ец расходится как 1/г. Это можно интерпретировать как появление эффективной массы на бесконечности (см. также в §7.3 аналогичный пример с электродинамикой). Однако следует отметить, что Eq^ и
относятся к физическому многообразию Ж= 71 х Tt а так как тензор Вейля не является конформно-инвариантным относительно конформных преобразований 3-мерной метрики, то
Есф ф Е<ф и Вар ф Bap ¦
Л Л
Для того чтобы найти Ea^ и Ba^l рассмотрим нефизическое 4-мерное многообразие Ш- Tl х г. В этом случае интервал запишется как
(I Av 2
I-sT)
dp = 1 - df _ dL\
где dt2 = dx2 + dy2 + dz2. Здесь мы ввели декартовы координаты (х, у, z) из соображений удобства. А
Выполним 3+1-расщепление многообразия^ с помощью сечений t = = const. Поскольку 3-мерное пространство плоское и метрика не зависит от времени, внешняя кривизна и тензор 3-мерной кривизны равны нулю. Тогда, используя формулы связи 4-мерной и 3-мерной кривизн (§ 1.6), получаем:
Ki= а = N.i.i/N'
RiJ = Nt і j/N, ft = -2AN/N,
169
где N = 1 - г0г/2; Д — лапласиан. Отсюда для электрической части тензора Вейля найдем (магнитная часть вектора В&йля равна нулю):
а 1/1
eU = ----- (— - Nfh
2N \ 3
или, учитывая явную зависимость N от координат,
h- = -з M/). а- = 4і •
А А
Следовательно, ?,у расходится вблизи начала координат как 1/г. Предел произведения rEfj существует в начале координат, но зависит от направления, по которому происходит стремление в точку г = 0. Это связано, как уже отмечалось, с тем что при конформной компактификации вместо естественной 2-мерной границы появляется 0-мерная граница (при компактификации от физического многообразия мы перешли к нефизическому многообразию Tl с углом, отсюда вытекают все неприятности, связанные с нарушением гладкости многообразия).
Проведенный анализ асимптотической структуры решения Шварцшильда подсказывает, как обобщить понятие асимптотически плоского на пространственной бесконечности 3-мерного пространства.на произвольный случай.
Определение ([22]; [146], с. 37). Трехмерное многообразие (Tl, Ь,\) является асимптотически плоским на пространственной бесконечности, если существуют нефизическое многообразие TL с метрикой Ь, гладкой везде, за исключением одной точки I09 скалярное поле SI, гладкое всюду и класса C2 в /°, и диффеоморфизм у: Tl -+Tl— I0, удовлетворяющие следующим условиям:
1> h(3 = -Vb0Q-.
2) в точке /° Q,= 0, ?Vaft = 0, 3Va3V^ft =
3) произведение SIx^jlv ограничено вблизи /°;
4) электрическая Ea^ и магнитная Ba^ части тензора Вейля тако-
вы, что ?21/2 EaQ и SlinBaQ имеют регулярный зависящий от направления предел в /°.
Здесь символом 3V обозначена ковадиантная производная относи-
тельно 3-мерной метрики многообразия Й , греческие индексы, как обычно, пробегают значения 0, 1, 2, 3. Под словами "регулярный зависящий от направления предел" понимается следующее. Тензорное поле T допускает в точке I0 предел, зависящий от направления, если он существует для любой кривой (класса С1), выходящей йз /°, и зависит только от касательного вектора к этой кривой. Регулярность означает, что тензорное поле, полученное предельным переходом, гладко зависит от угловых переменных.
160
Рис. 7.15. Определение асимптотической структуры пространственной бесконечности сечениями 3-мерного гиперболоида TC
К определению асимптотической структуры 3-мерного пространства необходимо также добавить требование сохранения ее относительно эволюции 3-геометрии, определяемой уравнениями Эйнштейна. Это означает, что необходимо наложить некоторые ограничения на функцию темпа N1 отражающие то, что асимптотически пространство остается близким по своим свойствам плоскому пространству.
