Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
А 2
Рис. 7.13. Изображение TfL на цилиндре 5 х Rt представляющем собой статичес-
кую вселенную Эйнштейна (две пространственные координаты, в, ф, опущены)
V — конечно, т.е. описывает изотропную (светоподобную) бесконечность будущего и прошлого.
Используя стереографическую проекцию сферы на плоскость (рис. 7.14) и осуществляя тем самым конформную компактификацию 2-мерной плоскости, интервал (7.4) можно переписать в виде
где комплексная координата f связана с декартовыми координатами
и определяет не только точки на плоскости (х, у), но также нумерует точки на сфере S2. Бесконечно удаленной точке f-плоскости соответствует северный полюс на сфере. Координата ? связана с обычными полярными координатами соотношением
сЙ2 = dpdq - sin2 (р - q)d$d$U\ + if)2,
(7.6)
X1 преобразованием
1+ KK
.3
г
KK -1 1 + »1
(7.7)
г?
f = ехр (\<р) Ctg— .
2
(7.8)
Отсюда для угловой части интервала получаем выражение
do1 = 4df</f/(1 + ГГ)2-
(7.9)
Без потери общности (с точностью до конформного множителя) можно считать, что метрика на представляется как
dl2 = d SdfHl + ф2. (7.10)
Рис. 7.14. Стереографическая проекция сферы S2 радиусом г из северного полюса N на f-плоскость Ix3 = 0)
Конформная структура бесконечности решения Шварцшильда. В координатах кривизн решение Шварцшильда записывается в виде
cfe2 = (\ dt2------------------ Pdo2. (7.11)
V г / І1 - /о/г)
В качестве запаздывающих и опережающих координат удобно выбрать и = t - г - г01п (г - г0); V = t + г + T0In (г — г0)
и изучить конформную структуру этого решения отдельно для ЗапаЗДЫ' вающего и опережающего времени. В первом случае метрика приобретает вид
ds2 = (1 — r0/r)du2 + 2dudr - r2do2, (7.12)
а во втором
ds2 = (1 — r0/r)dv2 - 2dvdr - i^dai2.
Выбирая в каждом случае конформный множитель ^ = лаем конформное преобразование над (7.12), (7.13):
dP = SlPds2 = (92 - Го?3)du2 - 2dud? — do2; dS2 = Slds2 = (г2 - Tor3Wi/2 + 2dvdr — do2,
Полученная метрика регулярна на Я,_ро, в отличие от прост^
ранства Минковского, Ш не регулярно в точках /“*, /°. Сингулярность Г связана с наличием в этих точках источника поля Шварцшильда. Сингулярность в /° можно пояснить на примере электродинамики. Пусть заряд локализован в конечной области физического многообразия Tfl. Силовые лин^и поля уходят на пространственную бесконечность и при переходе к Ш должны сфокусироваться в точке /°. Таким образом, ситуация выглядит так, как будто в /° появился заряд противоположного знака. Силовые линии поля начинаются в точке, где сосредоточен реальный заряд, и заканчиваются в /°. Видимо, такая картина достаточно общая [7].
После предварительного исследования конформной структуры бесконечности пространств Минковского и Шварцшильда можно перейти к более строгому математическому описанию конформной асимптотической структуры. Согласно Пенроузу [101], физическое лространство-время 771 называют асимптотически простым, если: 1)^TTl, д достаточно гладки; 2) функция П достаточно гладка на всем Ш , причем SI = 0 и
157
(7.13) = г, проде-
(7.14)
v ^Sl Ф Она 3 {=дШ); 3) каждая изотропная геодезическая в Th начинается и заканчивается на tJ .
Условие (2) определяет направление нормали к ? , например, для пространства Минковского Ъ SI Ibxa^ = (1, 0, 0, 0). Условие (3) обеспечивает присоединение всей изотропной бесконечности. На самом деле может оказаться, что не все изотропные геодезические уходят на бесконечность. Уже в поле Шварцшильда существуют пространственно ограниченные изотропные геодезические, определяющие круговые орбиты фотонов с радиусом г = (3/2) г 0 • Чтобы учесть эту возможность, вводят понятие асимптотически простого в слабом смысле пространства-времени, которое кроме конформной бесконечности асимптотически простого пространства-времени может также содержать и другие "бесконечности".
7.4. АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Анализ пространственной бесконечности, Основанный на 3 + 1-подходе, наиболее полно представлен в работе Героча [22]. Чтобы исследовать вопрос о степени близости асимптотической геометрии Z-сечений к геометрии евклидова пространства E3, 3-мерному физическому многообразию (Л , Ь, х) необходимо с помощью конформного преобразования а/З = 3 поставить 8 соответствие нефизическое многообразие
(Ш ,Ь, х) с границей. Как это часто бывает, разобраться в общей ситуации и подсказать путь к решению проблемы помогают примеры. Классический "пробный шар" ОТО — это решение Шварцшильда. С него и начнем.
Рассмотрим решение Шварцшильда, записанное в координатах кривизн, и выберем естественное 3 + 1-расщепление пространства-времени с помощью сечений t = const. В этом случае
^ = 6{f. Hfl = 6° И /V= (1 - г0/г)1'2.
В силу временной симметрии сечений (Zf — максимальные сечения) тензор внешней кривизны равен нулю. Из (7.11) для пространственной метрики получаем
dt2 = (1 - г0/г)~1 dr2 + ^do2.
Сделаем замену переменных
? = 2 Ir + Ir2 - г0г)'/2)-1.
Тогда
dt2 = (dP + r2d о2)/г4 (1 -гго/4)2. (7.15)
