Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Геометрия бесконечности [22]. Рассмотрим в касательном пространстве в точке /° множество единичных векторов. В силу положительйой определенности метрики концы этих векторов лежат на сфер? единичного радиуса. Все геометрические объекты, индуцированные на TL , спроектируем на нормальное и тангенциальные направления к кривым, уходящим в точку /°. Проектор на ортогональное 2-мерное пространство определяется как т§ =
ветствующей кривой. Таким образом, осуществляется 2 + 1 + 1-расщепле-ние нефизического многообразияШ- ft х т.
Теперь можно наметить общую схему исследования асимптотической структуры пространственной бесконечности в 3 + 1-подходе. "Приближение" к бесконечности происходит поэтапно. Сначала осуществляется 3 +* 1 -расщепление пространства-времени. Затем с помощью отображения в Tl и дальнейшего 2 + 1 + 1-расщепления Tl определяются геометрические (физические) поля в /° — через предельный переход. При этом важно учесть в качестве весового множителя Qf1, где степень п определяется из соображений существования регулярного зависящего от направления предела в точке /°. С помощью этого предельного перехода фактически осуществляется проектирование всех объектов на единичную сферу S2. Эта процедура известна в математике под названием раздутие особенности. В нашем случае раздутие особенности в точке I0 в основном совершается переходом к сферической системе координат и позволяет исследовать угловую зависимость различных полей вблизи /°.
Итак, для заданного сечения TL асимптотическая структура пространственной бесконечности может быть изучена в соответствии с выше приведенной схемой. Ho если имебтся другое 3 + 1-расщепление пространства-времени Ш= TL х т, то как между собой соотносятся их асимптотические структуры? Оказывается, что различные сечения 3-мерного единичного гиперболоида К (рис. 7.15) определяют асимптотические структуры, соответствующие асимптотически разным 3 + 1-расщеплениям пространства-времени [22]. Вместе с тем гиперболоид TC аналогичен
1 — изотропной бесконечности.
Pq -T-IaLnt где і — единичный вектор касательной к соот-
161
Существенным недостатком изложенного выше подхода к исследованию асимптотической структуры пространственной бесконечности является неинвариантность тензора Вейля относительно перенормировки 3-мер-ной метрики, приводящая, в частности, к значительному усложнению анализов. Кроме того, как это будет ясно из § 7.6, в соответствующей группе асимптотических симметрий отсутствует подгруппа трансляций, а это приводит к невозможности корректного определения момента импульса.
Подход Аштекара-Хансена [7; 146, с. 37]. Подход Аштекара—Хансена является развитием идей Героча в исследовании пространственной бесконечности, но в нем не требуется 3 + 1-разбиение пространства-времени; он существенно 4-мерный.
Определение. Пространство-время (Ш, д) называют асимптотически Qn ос к им на пространственной бесконечности, если существует пара (Шу д) и функция SI, гладкая везде, за исключением точки /°, где:
1) Ж — класса СҐ*1, д.ш — класса (Г*0 И П — класса C21 причем
оо a ^ Л
все они класса С на Ш — Г;
2) Qyiv " SI g^v,
3) в точке I0 SI = О, V^Sl = О, VpSl = -Iffill; (ср. с определением Героча). Здесь C^n означает, что дифференциальная структура объекта такова, что его производные порядка п + 1 имеют предел в точке /°, зависящий от направления.
Обозначим, как и прежде, через Ж гиперболоид, образованный единичными пространственными векторами в точке /°. Тогда регулярный зависящий от направления предел (определение см. с. 160) в точке/° можно рассматривать как гладкое отображение тензоров, определенных на Ж , в тензоры в I0. На Tt определена ковариантная производная3 Vr согласованная с естественной метрикой гиперболоида
^ Iiv ^ м ^ V + 9IJiV ’
Структура гравитационного поля на пространственной бесконечности определяется псевдоэлектрической и псевдомагнитной составляющими тензора Вейля.
Ы ¦ Wlfl 17,71
¦ С«-Рв,‘р<г <7-,8>
Для того чтобы подчеркнуть отличие этого определения от электрической и магнитной частей тензора Вейля, мы ввели приставку "псевдо". (Электрическая и магнитная составляющие тензора Вейля определяются через свертку с временноподобным, а не с пространственноподобным единичным вектором.) Тензоры ? и &ар ортогональны вектору единичной нормали к гиперболоиду Ж . С помощью предельного 162
перехода
^а/3 = Jin^ofil 2&сф' (7.19)
*<Ф = Ji^1 (7'20>
А А
им ставится в соответствие гладкое тензорное поле (ё , $ ), определяющее асимптотически "гравитационное поле" на Л . Тензоры (8,5) — симметричные, бесследовые и удовлетворяют на Ж дифференциальным
уравнениям V [а & ^ ^ = 0; v $ = 0. Отсюда, используя симметричность и бесследовость, получаем = 0; V = 0. Из опре-
AA U CL
деления $ар И следует, что они ведут себя вблизи /° как Mr.
А
Как это показано в § 7.7, тензор S ^ определяет интегральный 4-им-
пульс островной системы, а (1/г )4-часть тензора $ о позволяет найти полный момент импульса. (Определение ^ см. с. 173.)
