Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Шмидт [153] ввел понятие Ь-границы, основанное на расслоении линейных реперов. Это обобщение позволяет решать вопрос о полноте пространства-времени через продолжаемость любых кривых, а не только геодезических.
тензор энергии-импульса удовлетворяет неравенству
> 0 для
151
Условие энергодоминантности. Для любого временноподобного векто-Pa I > 0, и вектор направлен в будущее, т.е. он непро-
странственноподобен. Это означает, что в сопутствующей системе отсчета плотность энергии неотрицательна и поток энергии направлен в будущее. Условие энергодоминантности можно определить несколько по-иному: оно означает, что давление не превышает плотности энергии.
Сильное энергетическое условие. Для тензора энергии-импульса выполняется неравенство
VrvJ?? > .
где T — след тензора энергии-импульса; % — произвольный временноподобный вектор. При выполнении этого условия уравнения Эйнштейна оказывают фокусирующее действие на конгруэнцию врембннолодобных или изотропных геодезических. Это означает, что если временноподобные (изотропные) геодезические начали сближаться, то, согласно уравнениям Эйнштейна, при выполнении энергетических условий будет происходить сближение этих кривых и в будущем.
В ньютоновской теории тяготения сжатие вещества в точку возможно лишь в случае строгой сферической симметрии. Малейшее нарушение симметрии приводит к тому, что частицы "проскакивают" мимо друг друга и сингулярность не возникает. В ОТО ситуация иная. В некоторых случаях частицы, попавшие под определенную замкнутую поверхность (2-мерную ловушечную поверхность, обычно S2), уже не могут выйти иэ-лод нее вследствие нелинейности уравнений Эйнштейна. Существование замкнутой ловушечной поверхности 7 , обобщающей понятие шварц-шильдовской поверхности (горизонта событий) на случай отсутствия какой-либо симметрии, является важным критерием геодезической неполноты. Ее можно определить как замкнутую (т.е. компактную) 2-мерную поверхность класса C2 (обычно S2), для которой семейства изотропных геодезических, ортогональных к 7 , сходятся. Таким* образом, ло-вушечная поверхность действует как гигантский пылесос. Гравитационное поле вблизи нее настолько велико, что все, в том числе и свет, затягивается внутрь нее. Пенроуз и Хоукинг (см., например, [148]) доказали теоремы о появлении сингулярностей в ОТО. Основным моментом, необходимым для появления сингулярностей, является выполнение одного из энергетических условий и наличие ловушечных поверхностей в пространстве-времени.
В каких случаях выполняются условия теорем Хоукинга—Пенроуза? Они могут выполняться при гравитационном сжатии (коллапсе) достаточно компактной звезды, имеющей массу около двух солнечных масс. Достаточно заметить, что в природе такая ситуация может реализоваться для нейтронных звезд, имеющих массу порядка нескольких солнечных масс и размеры порядка десятка километров. Из теорем о сингулярности следует, что если такая звезда начнет сжиматься, то этот процесс ничем нельзя остановить. Если в обычной ньютоновской теории тяготения давление противодействует сжатию, то в эйнштейновской теории ситуация совершенно иная. Оказывается, что давление, входя в пра-
152
Рис. 7.10. Коллапс вещества звезды E с образованием черной дыры:
T — направление времени; He — горизонт событий; С — поверхность Коши; S — сингулярность
вую часть уравнений Эйнштейна (в тензор энергии-импульса), дает положительный вклад в "силы" гравитационного сжатия. И на поздних стадиях коллапса этот вклад намного превышает силы давления. Коллапс сферической звезды изображен на рис. 7.10.
Кроме сингулярностей, связанных в черными дырами, могут быть и сингулярности другого типа, такие как в космологии. Они появляются в космологических моделях, аналогичных расширяющейся модели Фридмана. Во многих случаях сингулярности такого типа связаны с условием геодезической неполноты, т.е. из. неполноты пространства-времени следует неограниченность физических велйчин в сингулярных точках.
Один из наиболее важных и пока не решенных вопросов состоит в том, какого типа горизонт ассоциируется с сингулярностями различных типов. Как мы видели в предыдущем параграфе, с керровской черной дырой связаны три типа горизонтов: горизонт событий (внешний горизонт), горизонт Коши (внутренний горизонт) и горизонт Киллинга (поверхность бесконечного красного смещения). В связи с этой проблемой Пен-роуз выдвинул гипотезу космической цензуры, а именно, что реально существующие сингулярности должны быть окружены горизонтом событий. На физическом языке это означает, что удельный момент импульса черной дыры не должен превышать ее массы. В том случае, когда удельный момент импульса превосходит массу, керровскую сингулярность называют голой сингулярностью. Поэтому гипотезу космической цензуры можно переформулировать как запрет существования голых сингулярностей.
7.3. КОНФОРМНАЯ ТРАКТОВКА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Строго математическое описание асимптотически плоского пространства-времени впервые дал Пенроуз [101], используя введенное им понятие конформной бесконечности. Его основная идея состоит в том, чтобы:
