Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Простейший анализ структуры группы асимптотических симметрий для тех случаев, когда мржно ввести понятие асимптотически декартовых координат, проведен в § 7.1. В этом случае структура группы G достаточно проста и подробно проанализирована в [113, 137].
Группа Бонди—Метцнера—Сакса (БМС) [14, 122, 101]. Это естественная группа асимтотических симметрий, сохраняющая структуру изотропной бесконечности. Впервые она появилась как группа координатных преобразований, оставляющая неизменной на изотропной бесконечности выделенную систему координат — координаты Бонди.
Рассмотрим группу БМС в пространстве Минковского. В координатах (и, г, в, у), где и = t — г — запаздывающее время; (г, в, у) - обычные сферические координаты; выражение для интервала имеет вид
c/s2 = du2 + 2 dud г - г2 do2.
После конформного преобразования с SI = г"1 = г интервал перепишется как
ds2 = Sl2ds2 = Pdu2 + 2dudr - do2.
167
Отсюда на любой гиперповерхности ? = const находим ds2 = Pdu2 — do2 *
Теперь можно определить метрику на ? * (г = 0):
Л2 = -CfS2 = 0 * du2 + с/а2 = 0 * tfo2 + + ff)2 (7.28)
[ср. с (7.10)]. Заметим, что в силу произвольности конформного множителя SI в знаменателе может быть любая функция |P (и, f, f) |2.
Группа преобразований ? * 7* (сюда не включаются преобразова-
ния t —f ,индуцирующие отображения J+ -* 7 “) состоит из преобразований
? t;
u f(u. t, ?); Э^/Эо > 0,
(7.29)
переводящих ^сечения на Cf*, определяемые уравнением о = const, в tv-сечения, и преобразований
{ -> (*f + /3) / (тГ + 5); <й - 70 - If (7.30)
осуществляющих конформное преобразование сферы S2 -+S2. Таким образом, полная группа преобразований 0* -* J+, т.е. группа, сохраняющая асимптотическую структуру изотропной бесконечности, состоит из преобразований вида
? ^ (af + 0)/(?Г + 6); и - f(u, f, f), (7.31)
где f (и, f, ?) — произвольная функция. Эта группа была проанализирова-
на Ньюменом и Унти [93] и является более широкой, чем группа БМС.
Группа БМС определяется как группа преобразований 3* Cf* сохраняющая: а) обычные углы на сфере S2, определяемые (7.28); б) "изотропные" углы du/dt Преобразования (7.31), вообще говоря, не сохря-няют изотропные углы. Из определения группы БМС следует, что она содержит преобразования вида
{ - W + P)/(Tf + «). (7.32)
и -* К * (и + a CfrT)) г (7.33)
где
AT (Г, Г) = (1 + If)/(Ief + /Jl2 + Irf + SI2);
3 (?» ?) — произвольная регулярная функция на S2. Иногда группу БМС
называют группой, сохраняющей сильную конформную геометрию, имея в виду свойства (а), (б).
Как это следует из (7.33), группа БМС — бесконечнопараметрическая и содержит произвольную функцию a (f, f). Бесконечнопараметрическая подгруппа
Г = f; и' = и + a (f , F) (7.34)
называется подгруппой супертрансляций и включает в себя 4-параметри-
168
ческую подгруппу трансляций
a = (A + Sf + Sf + С??)/(1 + ??),
(7.35)
точнее, преобразования У* -* 7 +, индуцированные трансляциями в про-странстве Минковского. Обе эти группы являются инвариантными подгруппами группы БМС. Фактор группа группы БМС по подгруппе супертрансляций состоит из конформных преобразований сферы S2 -+S2 и изоморфна ортохронной группе Лоренца.
Структура группы БМС аналогична структуре группы Пуанкаре, но есть и существенные различия. В случае группы Пуанкаре группа Лоренца определяется как фактор группа этой группы по абелевой подгруппе трансляций, а в случае группы БМС — как фактор группа по бесконечномерной подгруппе супертнансляций. Последнее обстоятельство является существенным, поскольку с ним связана основная трудность в определении момента импульса для островных систем. Подведем черту под анализом. Вследствие того, что группа Лоренца "сидит" в группе БМС как фактор-группа, а группа трансляций — как подгруппа, невозможно каноническим образом вложить подгруппу Пуанкаре в группу БМС, т.е. существует бесконечное множество вариантов групп Пуанкаре. Эту же самую мысль можно выразить другими словами; сказав, что группа БМС является полупрямым произведением группы Лоренца и группы супертрансляций.
Хотя невозможно естественным образом выделить из группы БМС группу Пуанкаре, можно, по крайней мере, в случае пространства Минковского, выяснить, какую дополнительную структуру на У * сохраняет эта группа. Оказывается, что группа Пуанкаре переводит так называемые хорошие сечения — сечения с асимптотически равным нулю сдвигом о (и, J," f) — снова в хорошие сечения [92]. В пространстве Минковского хорошее сечение изотропной бесконечности будущего определяется как сечение, для которого изотропные геодезические, направленные в прошлое, сфокусируются в одну точку (рис. 7.17).
Рассмотрим конус с вершиной в начале координат и = 0 (конус будущего) . Ясно, что он инвариантен относительно преобразований группы Лоренца, и конгруэнция изотропных геодезических, образующих конус, имеет равный нулю сдвиг. Хорошими сечениями на У * называют такие сечения, которые могут быть переведены преобразованиями из группы БМС в сечение и = 0. Это понятие позволяет, во-первых, избавиться от неоднозначности в определении группы Лоренца (как факторгруппы группы БМС), и, во-вторых, выделить подгруппу, естественным образом связанную с группой Пуанкаре — изоморфную ей.
