Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Интегрирование в этих формулах идет по сечениям Э*, гомеоморфным сфере. Функция*/^ называется функцией новостей Бонди и определяется из уравнения
Заметим, что выбор вектора f в (7.60) неоднозначен. Он связан с неоднозначностью выбора функции K(Qt^p) [см. (7.33) ], зависящей от трех независимых параметров. Различный сыбор этой функции соответствует различному выбору "асимптотической временной оси". Трудности в определении момента импульса через группу БМС уже обсуждались в § 7.6, и здесь к этому вопросу возвращаться не будем.
Тамбурино и Виникур [131] предложили обобщение интеграла Комара, позволяющее определить момент импульса через так называемые интегралы зацепления (linkage). Их обобщение состоит в следующем.
1). Асимптотический вектор Киллинга распространяется внутрь по изотропной гиперповерхности Г, пересекающей J * по сечению S+ в соответствии с законом
где к — "изотропный" генератор на Г. Это позволяет определить векторное поле ? на Г через начальные данные, заданные на X+ = Г П J *, и через
177
Pa = — (1/4ir) ds ,
(7.60)
где
f = (1, Sіп0cosY?, sin0sin</?, cos0); 'I'? = Iimr3^2
г -V OO
Pa = (1/4JT )Jfa(a0^*— *?)ds.
(7.61)
да°/Ьи = -JP,
(7.62)
причем
д/Г/ди = ,
Ф® = Iimr^4.
(7.63)
С -»¦ OO
Потери массы на излучение определяются формулой [14,122]
dm/du = -(1/4и) IJWds < 0.
(7.64)
(7.65)
общее решение асимптотического конформного уравнения Киллинга (7.38).
2) Модифицированный интеграл Комара записывается как
I) = — (1/1 бтг)$ (%[а‘ А + (7.66)
где S - сечение на Г; k^at® - бивектор нормали к S с нормировкой
к?а = 1 (см. формализм Ньюмена—Пенроуза, § 1.8).
3). Берется предел 2 2* вдоль Г. Полученное выражение опреде-
ляет момент импульса системы или ее 4-импульс в зависимости от геометрического смысла соответствующего генератора группы БМС. Однако проблема редукции группы БМС к группе Пуанкаре в подходе Тамбу-рино-Виникура не разрешается и, соответственно, возникают те же самые трудности в определении момента импульса, что и раньше.
Изучение асимптотических свойств пространства-времени еще далеко от завершения. Как видно из анализа, проведенного в этой главе, существует множество подходов, и до сих пор нет полной ясности в понимании асимптотической структуры пространства-времени. Укажем некоторые проблемы, сформулированные Пенроузом и Аштекаром.
1. Показать, что если сечение 2 изотропной бесконечности будущего J * (или прошлого 7“) является пространственноподобной поверхностью, на которой выполняются подходящие энергетические условия, то масса, определенная по Бонди—Саксу, на 2 неотрицательна [104].
Под подходящими энергетическими условиями здесь имеется в виду одно из наиболее обычных в такой ситуации, а именно, условие энергодоминантности. Аналогичную проблему можно сформулировать для массы, определенной через асимптотически пространственноподобную гиперповерхность в 3 + 1-подходе (масса АДМ). Возможно также любое определение массы через подходящие псевдотензоры при условии корректного определения соответствующей системы координат, т.е. системы координат, которая должным образом асимптотически стремится к декартовой. Может быть, конечно, использована и другая калибровка, совместимая с асимптотической структурой. Пренебрежение этим обстоятельством является источником многочисленных заблуждений и даже порождает мнение о том, что понятие энергии (читай — массы) бессмысленно в ОТО.
2. Имеет ли масса по Бонди—Саксу, определенная через сечение изотропной бесконечности будущего 7 *, предел при стремлении сечения в прошлое по 2+7 Если да, то совпадает ли он со значением массы, определенной на пространственной бесконечности [104] ?
Эта проблема будет, по-видимому, решена тогда, когда окончательно выяснится связь между группой БМС — группой асимптотических симметрий изотропной бесконечности и Spi-группой - группой асимптотических симметрий в подходе Аштекара—Хансена.
3. Показать, что если справедливо условие энергодоминантности, то
4-импульс по Бонди—Саксу, а также 4-импульс, определенный через пространственную бесконечность, направлены в будущее. При этом предполагается, что пространство-время всюду плоское вблизи про-178
странственноподобной гиперповерхности, которая используется для определения интегральных величин [104].
4. Если нет приходящего и уходящего (на бесконечность) излучений и пространство-время пусто вблизи 7 и (в некотором подходящем смысле) вблизи /°, то стационарно ли оно вблизи 0 [104]?
5. Пусть дан набор многообразий, каждое из которых асимптотически пустое и плоское как на пространственной, так и на изотропной бесконечности. Если игнорировать асимптотическую структуру в точке /°, то группой асимптотических симметрий будет группа БМС. Если игнорировать асимптотическую структуру изотропной бесконечности 7 , то соответствующей группой будет Spi-группа. Какова группа асимптотических симметрий, которая сохраняет асимптотическую структуру в обоих режимах? Можно ли получить каноническое разложение этой группы на группу Пуанкаре и калибровочную часть [146, с. 68] ?
