Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с третьей теоремой Пи по алгебре группы БМС можно локально восстановить группу, точнее, ее связную компоненту, так как группа БМС не является локально компактной.
Spi-rpynna [7]. Spi-rpynna появляется в подходе Аштекара и Хансена. Ее название произошло от английского "spatial infinity" - пространственная бесконечность. Напомним, что в этом случае физические поля на пространственной бесконечности описываются через проекции на гиперболоид Ti в /°. Точки гиперболоида К соответствуют различным направлениям пространственных кривых, попадающих в / .
Пусть Dffll) — множество диффеоморфизмов, сохраняющих асимптотическую структуру, и D(M) — его расширение до группы диффеоморфизмов на Ш , гладких всюду и класса (Ґ>l в /°. Пусть G0 — подгруппа преобразований, тождественных в /°. В этом случае она является нормальной подгруппой группы D. Фактор-группу G =DZG0 называют Spi-группой.
Следует отметить, что группа D устроена так, что сохраянется не только метрика на X , но также и связность, естественным образом определяемая метрикой гиперболоида h .
Более строго Spi-rpynna определяется через инфинитезимальную группу (алгебру). Рассмотрим векторное поле ?, удовлетвоярющее следующим условиям: л А А
1) векторное поле % допускает расширение ? на= % на Ш ) класса
C*0 в /°;
2) Il7O = 0, = 0 и
V(Jp) =
где со — функция класса с>° И CO = 1 в /° .
Spi-rpynna определяется как класс эквивалентности векторных полей {?} С Г (Ш), удовлетворяющих условиям 1 и 2. Два векторных поля ?i и %2 считаются эквивалентными, если + 0 (ft) вблизи /°. Та-
ким образом,^ каждая инфинитезимальная симметрия характеризуется
парой (?, Iim V ..со), где ? — вектор Киллинга на (# , h и Iim V itco -> /° W ^ ,о M
определяет "зависящий от направления" вектор.
Структура Spi-группы аналогична структуре группы БМС. В ней также содержится подгруппа супертрансляций, генераторы которой определяются из условия 2 с функцией со, удовлетворяющей
Iim (V и>) = 07?.. + Vat (7.45)
_>,<> M н н
где V — ковариантная производная на TC , определенная через метри-ку Ьцу, & — произвольная функция, зависящая от трех параметров, определенная на Ж . Подгруппа трансляций выделяется с помощью функций я, удовлетворяющих уравнению
VV ¦ |7-46'
или, что эквивалентно, любой функции вида а = ? JL^, где f — некоторый вектор в /°; і — вектор единичной нормали к %. Фактор-группа Spi-группы по группе супертрансляций изоморфна группе Лоренца. Однако при всей схожести этих групп имеется существенное отличие, состоящее в том, что в Spi-rpynne произвольная функция зависит от трех параметров, а в группе БМС — от двух.
В силу наличия в Spi-rpynne подгруппы супертрансляций появляется произвол в выделении группы Лоренца (ситуация аналогична ее выделению из группы БМС). Возникает естественный вопрос о редукции группы супертрансляций к группе трансляций. Оказывается, что если тензор Вейля имеет асимптотическое поведение
: = КтП1 nCj1,2 V 5Cl1'2 = 0 (7.47)
и следующий (1/л 4) порядок магнитной части тензора Вейля допускает предел, зависящий от направления,
: = П* &а' П ' (7‘48) то из Spi-группы каноническим образом выделяется группа Пуанкаре. Условие (7.47) позволяет выделить подгруппу трансляций. Тензорное поле PaQ содержит информацию о (1/г4)-части тензора Вейля, и с его помощью определяется момент импульса системы (см. § 7.7).
Исследование Spi-группы еще не завершено. Имеется ряд важных вопросов, ответ на которые позволит выяснить связь между этой группой и другими группами асимптотических симметрий. Среди этих вопросов можно отметить следующие.
173
1). Всегда ли многообразие (7ft, д), асимптотически плоское в смысле Аштекара—Хансена, допускает конформное пополнение, обеспечивающее асимптотическое поведение тензора Вейля, определяемое (7.47), (7.48) ?
2). Как устроена группа асимптотических симметрий, сохраняющая структуру изотропной и пространственной бесконечностей одновременно? Можно ли из этой единой группы симметрий выделить "калибровочную часть" и "группу Пуанкаре"?
Группы асимптотических симметрий в других подходах. Группа асимптотических симметрий в 3+1-подходе к анализу пространственной бесконечности (вариант Героча, см. § 7.4) изоморфна группе Лоренца и не содержит супертрансляций вообще. С точки зрения Spi-группы это связано с тем, что она сохраняет только метрику на двухмерной сфере — сечении единичного гиперболоида Xt HO не связность. В результате этого нельзя определить момент импульса.
Подход Соммерса [127]. Генераторы инфинитезимальной группы асимптотических симметрий определяются из асимптотических уравнений Киллинга
Voi ¦ °- |М91
и конформных уравнений Киллинга
ViliSv) - (1/3)(% Shhia,. (7.50)
где V — крвариантная производная на границе# ; h v — метрика на единичном временноподобном гиперболоиде. Уравнение (7.49) дает шесть независимых векторов, определяющих момент импульса, уравнение (7.50) — четыре независимых вектора, приводящих к определению импульса системы. Заметим, что, хотя запись этих уравнений явно 4-мерная, они определены на 3-мерном многообразии — границе пространства-времени. Вследствие однозначного выбора 2-сечений группа асимптотических симметрий Соммерса однозначно редуцируется к группе Пуанкаре, и нет никакого произвола, как, например, в Spi-rpynne, содержащей супертрансляции. Псевдоэлектрическая и псевдомагнитная составляющие тензора Вейля расходятся на# , но, если S-1S ар и допускают
