Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
7.5. ПОДХОДЫ СОММЕРСА И ПЕРСИДЕСА
При изучении асимптотической структуры пространства-времени существует большой произвол, связанный с выбором конформного множителя SI. С одной стороны, условия на SI должны быть достаточно жесткими, чтобы обеспечить сходимость полей на бесконечности, с другой — достаточно слабыми, чтобы включить в рассмотрение наиболее интересные физические ситуации, в том числе и возможность излучения на бесконечности.
Конформная техника хороша для исследования изотропной бесконечности, но в случае пространственной бесконечности ситуация значительно усложняется. Вместо конечной границы имеется единственная особая точка /°, которую в дальнейшем приходится "раздувать", для того чтобы исследовать физические поля на бесконечности. Кроме того, конформной технике в целом присущи некоторые неприятные стороны - необходимость использования тензоров с пределом в /°, зависящим от направления, ограничения на гладкость асимптотической структуры.
Кроме конформного пополнения многообразия существует еще один способ присоединения границы — проективный. Впервые проективное пополнение для изучения пространственной бесконечности было использовано Соммерсом [127] и далее развито в работах Персидеса [105]. Явным преимуществом проективного подхода по сравнению с конформным является то, что понятие плоской асимптотики формулируется на геометрическом языке, без привлечения уравнений Эйнштейна.
В подходе Соммерса пространственная бесконечность определяется как
3-мерная граница 4-мерного пространства-времени. Каждый пространственно-подобный луч "протыкает" Xr в некоторой точке, и, наоборот, каждая точка на Xr определяет класс, состоящий из параллельных про-странственно-подобных лучей. Таким образом, точки границы могут быть отождествлены с единичными пространственноподобными векторами,
163
ежиком торчащими из одной точки (вообще говоря, произвольной) многообразия Ш . Пространство таких векторов образует единичный временноподобный гиперболоид, и метрика на границе определяется метрической структурой этого гиперболоида.
Перейдем к исследованию пространственной бесконечности пространства Минковского ( Ш, ц). Пусть хЄТП р' Шр — внешность конуса с центром в точке Р. Поверхности постоянного радиуса г = (—т?а#Лг )172
определяют 3-мерный временноподобный гиперболоид с центром в точке Р. В 4-мерных сферических координатах (г, Ot </>) точки на гиперболоиде # имеют координаты (х, О, у). Определим новую координату 2 = г “1, тогда интервал запишется в виде
do2 = dx2 — ch 2XidO2 + Sin2Odif2)
— метрика на единичном временноподобном гиперболоиде.
Метрика (7.21) сингулярна на бесконечности (2 = 0), и невозможно с помощью конформного преобразования сделать ее регулярной на Xr . Если (7.21) умножить на 22, то угловая часть метрики совпадает с метрикой единичного гиперболоида TC и будет регулярной на .
С помощью 2-слоения (foliation) осуществляется 3 + 1-расщепление
пространства-времени: все геометрические и физические поля проектируются на нормальное и касательное к 2 = const направления. Согласно Соммерсу, пространство-время ( т, д) асимптотически плоское, если:
1) существует проективное замыкание (пополнение) Ш : Ш =VflKJ & ,
где & = S2 х R — граница Ш ; _
2) существует скаляр 2:2= 0 и 2 > 0 на Я? = - & •!& —
некоторая окрестность# • СШ;
3) на Ж ^ выполняются условия: 2 2h р, 2 К2-Ю),
здесь h ^jv — индуцированная метрика на 2-слоях; p^v — метрика единичного гиперболоида TL; K^v - внешняя кривизна 2-слоений;
4) кривые, ортогональные к 2-слоям, достигают границы трансверсально.
Из определения следует, что метрика д асимптотически стремится к 77:
(Слова "асимптотически стремится" означают, что ее тангенциальные составляющие имеют предел, не зависящий от направления.)
Таким образом, при проективном замыкании граница является гладким многообразием, но 4-мерная метрика определена только на ней и не определена вблизи. Отсюда возникают значительные трудности в исследовании асимптотической структуры пространства-времени проективным методом.
ds2 = -ST4CfS2 + YT2Cl о2,
(7.21)
где
(7.22)
164
Персидесу [105] удалось сформулировать подход к изучению асимптотической структуры пространства-времени, сохраняющий все преимущества конформной и проективной техники и свободный от перечисленных выше недостатков. Его основная идея состоит в том, чтобы перенести на случай пространственной бесконечности понятие асимптотической простоты, введенной Пенроузом для изотропной бесконечности.
Рассмотрим метод Персидеса на примере евклидова пространства E3 [105]. В сферической системе координат выражение для интервала имеет вид
ds2 =dr2 +г2 (с/в2 + sin2Odip2). (7.23)
После конформного преобразования р = г (г + I)"*1 все пространство E3 отобразится внутрь сферы единичного радиуса 0 < р < 1. "Точка" р = 1 представляет собой бесконечность Л которая после преобразования координат р' = 1 — р = (1 + г Г1 переходит в начало (р' = 0). Вблизи бесконечности р' ведет себя как 1/г. Поэтому выбор координаты cj = Г1 переводит / в начало координат и является одним из простейших. В координатах (со, в,<р) (7.23) переписывается как
