Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
гладкие пределы на # , то тогда можно определить момент импульса как интеграл по границе # с правильными трансформационными свойствами.
Подход Персидеса [105]. Г руппа асимптотических, симметрий определяется как группа преобразований единичного гиперболоида (X# ?) -* (х\ Ott $'), сохраняющая* метрику гиперболоида, которая в
специальных координатах имеет вид
g,j = diagH, -ch2x, - ch2xsin20). (7.51)
Эта группа является группой изометрий границы # и может определяться через решение уравнения Киллинга на границе
ojoj'tabl ’°- l^'0- |7И|
Здесь ра0 — проектор на # ; V — ковариантная производная относительно метрики единичного гиперболоида. Как и в подходе Соммерса, здесь группа асимптотических симметрий изоморфна группе Лоренца.
7.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Интегральные сохраняющиеся величины определяются через интегралы по 3-мерной области, которые в силу дивергенциального характера подынтегральных выражений переводятся в интегралы по границе. В случае островных систем полный 4-импульс системы, а также момент импульса определяются через интеграл по границе, удаленной на бесконечность. Рассмотрим определение сохраняющихся интегральных величин в различных подходах к анализу асимптотической структуры пространства-времени. Начнем с подхода Аштекара—Хансена.
Подгруппа трансляций из Spi-группы выделяется с помощью функции а, удовлетворяющей на гиперболоиде % уравнению
^ (ix*v)a “ ah fiv (7.53)
[ср. с (7.46) ]. Отсюда следует, что V — конформный вектор Киллинга на { # , h ). Согласно [7], полный 4-импульс островной системы
где f — постоянный вектор, лежащий в касательном пространстве к точ-ке /0; = ” 3-мерный тензор Леви-Чивиты. В силу того,
что псевдоэлектрическая часть тензора Вейля имеет равный нулю след и V S = 0, 4-импульс системы сохраняется в том смысле, что интеграл (7.54) не зависит от выбора сечения S2.
Какова связь между (7.54) и известными сохраняющимися величинами типа Комара и 4-импульса АДМ? Оказывается, что 4-импульс изолированной системы (7.54) совпадает с 4-импульсом АДМ и для стационарного асимптотически плоского и пустого на пространственной бесконечности пространства-времени Pa = т%а, где % — вектор в /°, соответствующий Spi-трансляции, а т — масса, определяемая через интеграл Комара (см. § 3.4). Магнитный аналог Pa нэ существует, поэтому для $ад интеграл типа (7.54) равен нулю.
Если в определении 4-импульса островной системы есть определенная ясность, то этого нельзя сказать о моменте импульса. Действительно, понятие момента импульса зависит от "центра" — точки, относительно которой он определяется. В СТО закон изменения момента импульса при замене координат х*^ + a имеет вид
мф = м<ф + р{ааР) ' (7 55)
где а — вектор трансляции. Таким образом, чтобы получить определение момента импульса с такими свойствами, необходимо иметь 4-параметри-ческое семейство групп Лоренца, определяемое вектором а . Однако Spi-rpynna содержит бесконечное множество групп Лоренца в силу бес-конечномерности группы супертрансляций. И мы снова возвращаемся к уже обсуждавшейся проблеме выделения группы Пуанкаре из Spi-группы.
Информация о моменте импульса содержится в "части" тензора Вейля, убывающей на бесконечности как 1/г4. Так как псевдомагнитная часть
175
тензора Вейля Я^ ведет себя как 1/г3 при стремлении г к бесконечности, то следующий (1/f 4) порядок тензора Вейля на Ж определяется как [см. (7.47), (7.48) ]
Kp = К'цру* flSlut V1Sl1'2. (7.56)
А
Тензорное поле Рар — сохраняющееся,
V JaP = 0, (7.57)
и преобразуется относительно Spi-трансляций как
Kp - Kp + 2ем*(а&р)*Ма-
А
Момент импульса M определяется через интеграл
M 00 ^ = IJapeaeP1Sdsis <7-58>
и преобразуется по закону
Мар ^ ^aP + Р[а*&\ ¦
Здесь Fan — произвольный антисимметричный тензор в /°; в — векторное киллингово поле на (#, h ), определяемое как
f — вектор в /°, соответствующий Spi-трансляции а, т.е. a = (0І^. Век-
Л г
тор момента импульса 5 связан п Ma^ соотношением
Sa= ЕаРу SM1*7!?, (7-59)
где %а = (P^1P так и не зависят от выбора сече-
ния S2.
Для стационарного асимптотически пустого и плоского пространства-времени (на пространственной бесконечности), где выполняется (7.57),
"«0^ • V
Здесь
F# =lim?
и /к - значение интеграла Комара, соответствующее вращательному вектору Киллинга со.
В случае 3 + 1-подхода к исследованию асимптотической структуры пространства-времен и группа асимптотических симметрий изоморфна группе Лоренца и в результате отсутствия группы супертрансляций не-
176
возможно определить момент импульса. Что же касается 4-импульса системы, то он сводится к определению АДМ.
Перейдем к интегральным сохраняющимся величинам, порожденным группой БМС. Как следует из § 7.6, подгруппа Пуанкаре выделяется однозначно из группы БМС тогда, когда существуют хорошие сечения. В этом случае 4-импульс Бонди—Сакса определяется как [14, 103] (обозначения см. в § 1.8)
определяется из (1.119). В общей ситуации, когда отсутствуют хорошие сечения, в (7.60) необходимо добавить члены, учитывающие асимптотический сдвиг, тогда
