Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(3.1.1)
Как уже говорилось, вторые производные потенциала (здесь: метрического тензора) можно выделить под знаком дивергенции
Lg = Л + (3.1.2)
Простой расчет дает при этом
Л = ^^-^v(r“vrap-rWv) (3.1.3)
и
к* = ^(Гр>Р - Г^). (3.1.4)
Мы предупреждали о нековариантности такой процедуры; действительно, величина (3.1.3) является аффинной скалярной плотностью, и ее можно
60
локально обратить в нуль, перейдя к геодезической системе. Поэтому, в частности, к величинам, вытекающим из нее в теореме Нётер (а инвариантность относительно линейных преобразований позволяет применить эту теорему и здесь, хотя не в полном ее объеме), теряет свою силу заключения о трансформационных свойствах, полученные в § 2.5 для случая инвариантного лагранжиана.
Однако метрическое поле может быть описано и другими средствами, кроме метрического тензора. Мы будем называть потенциалом поля ту простейшую величину, от которой зависит лагранжиан в данной формулировке. Тогда, если лагранжианы (3.1.1) и (3.1.3) зависели от метрического тензора как от потенциала, то, переходя к тетрадам (детали см. в § 8.7), мы можем ковариантным образом, в противоположность (3.1.2), выделить дивергенциальный член, уносящий вторые производные тетрад; в этом случае лагранжиан метрического (тетрадного) поля, не включающий вторых производных, примет вид
Если же обратиться к зоммерфельдовскому представлению у-матриц, обобщенному на случай общей теории относительности (см. § 8.6), то соответствующий лагранжиан метрического поля запишется как
Подобная же операция возможна и в кватернионном представлении метрического поля:
(см. § 8.8). Наконец, двуметрический формализм (§ 8.5) дает просто «тензорное продолжение» лагранжиана (3.1.3):
Следует заметить, что при выводе законов сохранения из этого лагранжиана приходится учитывать некоторые нюансы (см. Мицкевич, 19656), без которых можно обойтись, специфическим образом добавив (также с помощью дивергенции) вторые производные, так что получается другой лагранжиан двуметрического формализма:
Наконец, можно отказаться от плотности скалярной кривизны (3.1.1) как от исходного лагранжиана гравитационного поля и строить новые лагранжианы метрического поля (когда его потенциал — не метрический тензор!) непосредственно из соображений простоты и сравнения с опытными фактами. По такому пути пошли, наприадер, Пеллегрини и Плебаньский (1963), взяв лагранжиан в форме
Lpp = Ltetr + &У—g 8pdXvS^iAa[Xv]Ay[pp], (3.1.10)
Ltetr = t-L (AvEaPlAlltavl - А [Pa] ?$*' ) .
(3.1.5)
(3.1.8)
(3.1.7)
Acov = ~~П~~ ^tiv (ПцгПаЭ ПPixITav).
(3.1.8)
(3.1.9)
61
где Ltetr — лангражиан (3.1.5), а через Aa[Xv] обозначена конструкция lAa[aPl = (ё’а(Я), р — ^(^), a) go (Л) = ФааЭ- (3.1.11)
Теперь, однако (при к Ф 0), теория уже не будет эйнштейновской.
Следует отметить в заключение тот важный факт, что на уровне лагранжиана мы не имеем права накладывать каких-либо дополнительных условий (типа условия Лоренца в электродинамике), если не хотим повлиять на вытекающие из взятого лагранжиана соотношения (например, на сохраняющиеся величины). Дело в том, что член, обращающийся в нуль в силу условия типа Лоренца в лагранжиане, может дать ненулевой вклад (с учетом того же условия) в динамических переменных. Простой расчет йод-тверждает это кажущееся парадоксальным утверждение.
3.2. Уравнения Эйнштейна
Уравнения Эйнштейна — это уравнения для поля метрического тензора. Естественно, что при таком их понимании предполагают, что все лагранжианы зависят непосредственно от ^ixv, так что можно воспользоваться лишь двумя лагранжианами предыдущего параграфа — (3.1.1) и (3.1.3). Как мы увидим, к тому же результату приводят и все другие лагранжианы Lg, но может появиться существенное различие в выводах, следующих из Lf. Прежде всего мы выведем уравнения Эйнштейна непосредственно для guv, пользуясь в качестве Lg плотностью скалярной кривизны с соответствующим коэффициентом (3.1.1).
Для этого удобнее всего воспользоваться методом Палатини (Палати-ни, 1919), который мы лишь незначительно модифицируем. Метод Палатини — это тензорный на каждом этапе вывод уравнений Эйнштейна из вариационного принципа через 6 обозначена вариация).
Заметим сначала, что вариация символа Кристоффеля (1.49) является истинным тензором в силу закона преобразования (1.45), так как последнее слагаемое в этом законе зависит лишь от соотношения старых и новых координат, а координаты не варьируются. Поэтому к 6Г*У применимо обычное ковариантное дифференцирование, которое дает
(бГух) ;р = 6Г&, р + ГарбГ^ - Г'рбГи - Г^бГут. (3.2.1)
Антисимметризация по индексам к и р приводит к соотношению
(61\>я);р (бГур);*,=== SAvpx, (3.2.2)
откуда
6/?vp = (6FvA,) ;р (6Г\;р);А,. (3.2.3)
Однако нас интересует вариация плотности скалярной кривизны; поэтому умножим последнее равенство на gvp и получим
6i?v pgvp = SR — #vp6gvp, (3.2.4)
§-vp6#vp = (gWvl - gv*6I\*) ;p = (gvp6rv* - g^eiV) ,p. (3.2.5)
Так как дивергенциальный член не дает вклада в уравнения поля, мы можем записать
