Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.3. Решение Шварцшильда
Решением Шварцшильда (1916) называется решение уравнений Эйнштейна (относительно guv) в случае статического сферически симметричного метрического поля при правой части уравнений Эйнштейна, равной нулю всюду, кроме точки начала координат. Это решение, конечно, можно записать в самых различных координатных системах, но для удобства его вывода необходимо подходящим образом выбрать систему координат.
Так как конкретная, позволяющая проводить непосредственные расчеты запись уравнений поля достигается в общей теории относительности с известным трудом, то мы постараемся привести первоначально уравнения Эйнштейна к пригодному для таких расчетов виду, не сужая чрезмерно
5 Н. В. Мицкевич
65
наших преддолржений о выборе формы метрического тензора. Полученные уравнения можно использовать для решения нескольких задач. Мы ограничимся предположением о том, что метрический тензор имеет диагональный вид. Для этого случая уравнения Эйнштейна записывал Толмен (1934)А, мы дадим здесь иной вывод уравнений в этом случае.
Итак, пусть метрика диагональна, т. е.
где по повторяющимся индексам не предполагается суммирования (вплоть до конца этого параграфа мы будем обозначать сумму только знаком 2!). Необходимую сигнатуру метрики гарантирует значок Эйзенхарта
Диагональность метрики фиксируется выбором наиболее удобной (на наш взгляд) системы координат для статического сферически симметричного поля (а также и для некоторых других случаев).
Переходя к 7-матрицам, введем здесь наряду с переменными матрицами в представлении Зоммерфельда также постоянные дираковские матрицы y*\ Для которых
Вместо того чтобы подставлять тензор g^v в форме (3.3.1) в уравнения Эйнштейна (3.2.12), мы подставим ^-матрицы в форме (3.3.6) в лагранжиан метрического поля в форме (3.1.6) и проведем варьирование по In Ch, что даст нам требуемые уравнения. Лагранжиан (3.1.6) просто привести к виду
где мы благодаря соотношениям типа (1.53) освободились от части кова-риантных производных, а другую их часть записали явно. Имея в виду, что символ Кристоффеля в (3.3.7) дает
21-g ЕЛ IV*= S 4У — е^,х2 [ ((In «V) ,^) 2 — 2 ((In «Pt), ^l) 2],
JA1 V1 Я, JX1 V
(3.3.8)
мы можем, пользуясь записанными здесь соотношениями, очень просто привести 2xLg к виду
.2
(3.3.1,)
gliv — 6jiv8 v<lv ,
(3.3.2)
+ 1 при v = Ot
(3*3.3)
Тогда
У'—g = (Ooaiaza3)-1.
(3.3.4)
О
Sp VliYv = 46p.v ev,
Jtt о
так что к метрике (3.3.1) приводит простая конструкция Yli = «nY11-
(3.3.6)
(3.3.5)
о
(3.3.7)
бб
2xLg = У g 2 CvOv2 [—2 (In dv), v (In f— g) , ,V —
V
- ((In Y-g), v)2 + 2 ((In a,*), v)2 - 2 ((In Ov), v)*K (3.3.9)
Отсюда видно, что полезно ввести новые обозначения:
In Ov = Uv1 In ]/— g = — ]>J Ua = — U7 (3.3.10)
о
причем
ди а duv
J~=U T-=^vt- (3.3.11)
ди% OUx
Тогда лагранжиан поддается следующим упрощающим его преобразованиям:
2K1Lg= 2 eve2uv"M J^2wv, V (и, V — Wv, v)+ 2 WH,v(Wn, V — ttv) J =
V |1
= 2 2eve2uv-«aVi VMlii V — 2 2 eve2“v-“Un, v«x, V =
II^=V y,?=A, V
= — 2 «Ullt v гг*,, v. (3.3.12)
V,
Последнее выражение — наиболее простая запись гравитационного лагранжиана при взятом нами виде метрического тензора. Здесь использовано сокращенное обозначение суммы, в которой все индексы, по которым проводится суммирование, принимают лишь отличные друг от друга значения: 2 » в Дальнейшем нам придется, кроме индексов, по которым
їх, V, Al,
производится суммирование, указывать в символе суммы также и фиксированный индекс, к которому также применено указанное условие (несовпадение значений индексов); тогда мы будем брать такой фиксированный
индекс в скобки, например, 2
М, V, (т), ф
Вариационная производная лагранжиана (3.3.12) по их записывается также довольно просто:
----- (lnLg 2 ev^2Wv uUvi, vux, V — • 2гхе2их и 2 * ”Ь
їх, V, А,, ф M-, А,, (т), ф
+ 2 (2gV^v U-U%t V Sjjit). (3.3.13)
Л OXx jit V, А,, Ф
Замечая, что
2 6цт = 1 — 6 vT — Ьхх (3.3.14)
M(?=v, Al)
или, иначе,
2 НЄЧТОуА, 6jxT = 2 H64T0vX, (3.3.15)
|X, v, А,, ф v, А, (т), ф
5* 67
нетрудно привести (3.3.13) к более симметричному виду:
~7—(— 2xLg) = 2 {Zie2uX-uU^ tWv, т -f-
|А, V, (т), ^
+’ 2eVe2Uv“W [Wjj,, vWj*, V ““ Wjj, VU-V1 V Wjjlj v, v]} "f*
+ 2 Eve2u^uUxi vMjx, v. (3.3.16)
M-, v, X, (T)5 ?=
Это — левая часть уравнений Эйнштейна; правая часть уравнений имеет на основании определения (2.4.51) вид
= WW. (3.3.17)
М, V ° h п, V
Запишем окончательно уравнения для иа (преобразованные уравнения Эйнштейна):
2 (Cr^2ttTKjjli xUv, х + 2eve2uv [Hlij vHja, v —
М, v, Ce), ф
Wji, VWv, V Wjai v, v]} “f“ Cv^2ttvWa,, vWjj,, v 2іУіТі%. (3.3,18)
її, v, X, (т), Ф
Будем теперь искать решение этих уравнений при конкретных предположениях О форме Txx и специфике Wji.
Прежде всего рассмотрим решение Шрарцшильда. Вернемся для этого к рассуждениям о системах координат. Очевидно, если выбрать х1, х2 и х? так, чтобы параметр г, относительно которого требуется сферическая симметрия, был равен г = ^xi2 + х22 + ос32, то автоматически следует предположить полную равнозначность трех координат Xі (і = 1, 2, 3). Поэтому Sn = Stz = S3S, и
