Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 34

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 141 >> Следующая


П

довом мире. Следовательно, функция G должна быть

G(x) = G(S), (ЗАЗ)

где

S=I2-I2= 2 SvXvXv. (3.4.4)

V

Тогда, возвращаясь к обозначениям предыдущего параграфа,

av = e“ =G-1 (3.4.5)

й Uv = -In G = U. (3.4.6)

Прежде всего можно заметить некоторое упрощение уравнения (3.3.18) при данном выборе метрики:

^ 2 (?*Юц, t^v, т 2BvUnt V, v)

И, V, (т), ^

+ 2 6V^. vBx, V ^e2u = 2кТи. (3.4.7)

M-, V, %, (T)1 =?*=

Подстановка (3.4.5) и (3.4.6) окончательно дает

3г, (Or.,)2 + 2 ev[(U,*)2-2U,y,v]=xTtxe-2v. (3.4.8)

V, (X), Ф

Здесь полезно дополнить суммы до обычных 4-мерных сумм, компенсировав уравнение соответствующими членами:

2ex[(?/t)2+tf,T.t]+ 2 ev [ (^ v)2 - 2С/, V, v] = KTtSe-W. (3.49)

V

Замечая теперь, что

Ui х = —U' (ЗЛЮ)

о

и

Er XxXx XxXx

N’x’x = lTu'~-&ru, + -&-и(ЗА11)

мы без труда выделяем в уравнении (3.4.9) часть, зависящую непосредственно от Xх:

+ 2ех~ [|С7"-------1 + (U')2]= KTtSe-* (3.4.12)

Если теперь вспомнить, что речь идет о модели Вселенной, то нетрудно уточнить выражение для симметричного тензора энергии-импульса; предположим, что главную роль во Вселенной играет вещество, а не излучение; при этом столкновения в таком веществе несущественны — «давлением» при взаимодействии между галактиками пренебрегаем. Следовательно, можно воспользоваться тензором энергии-импульса некогерентного газа («облака пыли»):

Tux = pvxvx. (3.4.13)

74

Так как левая часть уравнений Эйнштейна в форме (3.4.12) не содержит линейной зависимости от хх, а правая их часть квадратична по Vх, то для того, чтобы можно было удовлетворить этим уравненйям, Необходимо потребовать выполнения уравнения

Ho полученцое уравнение формально совпадает с уже исследованным уравнением (3.3.24), если вспомнить последнее из равенств (3.3.22). Поэтому можно сразу же написать решение уравнения (3.4.14), а именно

Мы изменили здесь выбор постоянной интегрирования так, чтобы перед нею стоял знак минус; причина выбора знаков здесь и в решении Шварцшильда будет ясна из дальнейшего изложения. Подставим теперь полученное решение в уравнение (3.4.12), чтобы найти р и Vх. Получим

Учитывая выражение (3.4.13) и обычную величину квадрата 4-мерной скорости

Таким образом (фактически взятое с самого начала) предположение об однородном распределении вещества во Вселенной (в среднем по сравнительно небольшим частям Мегагалактики хорошо подтверждаемое наблюдениями) оправдало себя. Кроме того, такое равномерное распределение поддерживает само себя, обусловливая соответствующий характер движения масс. Найдем выражение для скоростей этих («размазанных») масс. Прежде всего

(3.4.14)

(3.4*15)

(3.4.16)

^vxVx = 1,

(3.4.17)

T

находим

(3.4.18)

а отсюда — 12А

(3.4*19)

где для краткости мы вернулись к G:

(3.4.20)

Ttxx = SxG2Ttxx,

(3.4.21)

откуда и из (3.4.16)

12Л

XxXz--------

-- = Xpyxl7x,

(3.4.22)

так что мы приходим к весьма простой зависимости

G2

--XxXx — VxVx

(3.4.23)

75

или

Vx



G

___ Xх

= ~SG'

(3.4.24)

Полученное решение обладает неожиданно тесным «родством» с решением Шварцшильда. Вспомним в связи с этим преобразование (3.3.50) — «выворачивание» 3-мерного мира, при котором решение Шварцшильда не меняет своей формы. В случае решения Фридмана можно произвести аналогичное 4-мерное «выворачивание» (Фок, 1961). Именно, можно взять преобразование

A2

= — х»

или, в более близкой к (3.3.50) форме, A2

~S'

S'= ¦

(3.4.25)

(3.4.26)

(3.4.27)

Чтобы проследить такую аналогию между обоими решениями, следует перейти к 4-мерным сферическим координатам, в которых

op = S ch г|),

Xі = S sh г|> cos 0, sh oj? sin 0 cos ф,

лг3 = «S' sh гр sin 0 sin ер, так что

/ А \4

ds2 =^l — j [dS2 — 5^(^2 -J- sh2 г|) dQ2 + sh2 г|) sin2 0 <2ф2)]. (3.4.28)

Последняя форма квадрата интервала явно напоминает пространственную часть квадрата интервала Шварцшильда. Поэтому можно сравнить решение Фридмана с сечением в некотором пространстве большего числа измерений, в котором реализуется соответствующий мщр Шварцшильда. Тогда распределенное и движущееся по законам (3.4.19) и (3.4.24) вещества в этом «сверхмире» должно интерпретироваться чисто геометрически.

Что касается космологических приложений решения Фридмана, то мьг не можем подробно останавливаться на этом вопросе, так как это заняло бы слишком много места. Основные идеи, с которых можно начать исследование таких приложений, относятся к установлению зависимости между расстоянием «частицы» (галактики) от «центра» вселенной (произвольна выбираемого начала координат) и скоростью ее движения от этого центра (скорость «разбегания»). В самом деле, из (3.4.24) непосредственно видно, что

dx* / dcfi = Vі I и° = Xі IX04 (3.4.29)

или

V -я0.

(3.4.30)

В фиксированный момент времени t = х°

и ~ г, (3.4.31)

так что скорости галактик должны быть пропорциональны расстоянию да

76

нихi. Такое утверждение делается в терминах псевдоэвклидова мира, а в «истинном» мире Фридмана это требует уточнения; однако качественно подобная картина реализуется и там.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed