Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ДО (*,*') = Ь«(х,х') -6«(M'), (2.6.65)
то мы получим
APp= -ЯФбр(М'), (2.6.66)
причем одномерная б-функция обладает свойством
J /-6p(?,t')dx» = f\t=t’. (2.6.67)
Через t мы обозначаем здесь не время, а временно-подобное направление, нормальное к рассматриваемой гиперповерхности, так что равенство t = Ir в (2.6.67) означает, что функция берется на этой гиперповерхности. Обращаясь к уравнениям Гамильтона (2.6,18), запишем выражение для возмущенных производных канонического импульса:
П'*?р = - = Пв“р + К 6р (*, О. /2.6.68)
AAb AAb
Это выражение дает величину производной возмущения импульса, пропорциональную одномерной б-функции, что означает, как заметил Пайерлс, «скачкообразное изменение канонического импульса в момент включения возмущения на величину Даф
АПВа = Я——. (2.6.6S)
A Ab
Подобным же образом, пользуясь соотношением, следующим из уравнений Гамильтона (2.6.17),
Д<» даф
-APp = -А—бр(*, О = ДЛв,р-бЛ (2.6.70)
найдем величину скачка канонических координат при включении возмущения:
АаФ
ДЛВ.6,«_-Х —. (2.8.71)
Очевидно, что, согласно определению вариационИой производной (8.3.7), изменение некоторой функции канонических импульсов и координат xF при включении возмущения должно записываться в виде
KDoV = ) [ — ДФAb + ДфП**] IS,, (2.6.72)
58
что вследствие (2.6.69) и (2.6.71) поддается следующему преобразованию:
Дтф Да\р Даф Дт\|Г-1
<2-6'73»
Как уже было отмечено, физические величины при включении возмущения изменяются скачком; таким образом, мы должны положить, что в выражении (2.6.73) функции Ф и W взяты в моменты t\ и t\ + 0 соответственно. Если бы мы взяли эти же функции в моменты t\ Kti — 0, то нашли бы, что возмущение отсутствует:
ACUxF = O, (2.6.74)
как и следовало ожидать из соображений причинности (запаздывание). Совершенно аналогичные соотношения, отличающиеся от только что полученных лишь знаком и порядком моментов времени, справедливы при рассмотрении опережающего взаимодействия, т. е. для QoW. Взяв разность этих величин, мы получим выражение, одинаковое для всех моментов времени и совпадающее со скобками Пуассона (2.6.63), что и требовалось доказать.
В случае вырожденных полей (см. примечание на стр. 53) напряженность поля Fbol обладает меньшим числом независимых компонент, чем обычная каноническая скорость Ав, а, что связано со свойствами симметрии величин Fва, от которых зависит лагранжиан. При этом уравнения
Fbol = кваАс, (3 (2.6.75)
невозможно разрешить относительно Ac, р. Вводя тогда наряду с4вИ ПВа величины В ^ и Scp,
Scja=Ob; (2.6.76)
дЬ
,ScP =
dF cfi
IPa = kct 2СР,
(2.6.77)
получим вместо (2.6.6)
б Pp = 5 [Ecti, Р62Ы - 1ІЇ б Ав] dSa, (2.6.78)
так что уравнения Гамильтона в теории поля примут вид
Д“Рэ
___ 1H1 06 .
Д2сц' р’
Д“Рр
(2.6.79)
Второе цз этих уравнений в точности совпадает с (2.6.18), первое же выгодно отличается от (2.6.17) в том отношении, что его левая и правая части всегда обладают одинаковыми свойствами симметрии в группе индексов Cjli. Дальнейший анализ скобок Пуассона в вырожденном случае, однако, довольно громоздок и требует индивидуального подхода к различным конкретным полям, так что мы не будем на нем здесь останавливаться.
Полученные в этом параграфе соотношения важны для построения квантовой теории поля и используются в § 6.1, где мы рассматриваем также независимый подход к квантованию, применимый непосредственно в случае вырожденных полей.
3. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА
3.1. Лагранжианы метрического (гравитационного) поля
Наиболее удобный и плодотворный подход в теории поля основывается на использовании принципа экстремума действия. В этом параграфе мы дадим сводку различных выражений лагранжиана метрического поля, а последнее будет идентифицировано с гравитационным в следующих параграфах. Эта сводка не претендует на абсолютную полноту и нужна лишь для систематизации гравитационных сохраняющихся величин (§ 3.7).
ЧЗбхции метод построения лагранжианов физических полей состоит в комбинировании инвариантов, сконструированных из потенциалов этих полей и их производных. В принципе можно было бы брать производные любых порядков, но оказывается достаточным ограничиться такими лагранжианами, из которых следуют уравнения не выше второго порядка для потенциалов. Поэтому и в лагранжианах не следует брать производных выше второго порядка, причем допустимы любые конструкции из самих потенциалов и их первых производных, но вторые производные могут входить лишь в произведении с потенциалами, а не с их производными. Между прочим, именно этот факт позволяет отбросить вторые производные, введя их под знак дивергенции (уравнения поля при этом остаются прежними!); но поле метрического тензора, в противоположность всем другим полям, не допускает ковариантного проведения такой процедуры, так что со вторыми производными потенциалов пишется лагранжиан лишь этого поля.
Кроме инвариантности лагранжианы полей, как оказывается, подчиняются требованию простоты (отсутствие высших производных уже отражает существование такого требования). Мы не даем здесь подробной математической формулировки требования простоты и отсылаем читателя к нашей статье (1958а), где проиллюстрирована «работа» такого рода требования. В частности, простейшим инвариантным лагранжианов метрического поля оказывается скалярная кривизна (с точностью до коэффициента):
