Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
SR = RvfJ 6gvp + Div, (3.2.6)
где через Div обозначено выражение (3.2.5), и так как
6gvp = у— g Sgvp + gvp6-f^g = у—я( б^р — у gvpg, (3.2.7)
62
6gvp ' ° V“^ 2 I
Здесь мы использовали обозначение (1.87) консервативного тензора Эйнштейна G1XV
Так как полный лагранжиан системы полей равен
Li = 4-R+ Lf. (3-2.9)
2 к
а тензор энергии-импульса (симметричный) определяется, согласно
(2.4.51), как
6Lf і. Tvp (3.2.10)
SgvP 2
(знак плюс соответствует противоположной вариантности gjxv), то
Gv о= %Tv р (3.2.11)
и являются уравнениями (2.2.10) для метрического тензора. Обычно эти уравнения — уравнения Эйнштейна — записывают в виде
R\kv — = iXjTjiv. (3.2.12)
Эти уравнения описывают поведение гравитационного поля, а тензор T1IV является его источником (мы еще будем говорить о принципе соответствия между теориями тяготения Эйнштейна и Ньютона). Выведем теперь уравнения Эйнштейна для ^-матриц в представлении Зоммерфельда для того, чтобы воспользоваться ими в дальнейшем. При этом можно воспользоваться лагранжианом (3.1.6), не содержащим вторых производных, и подставить его в формулу (2.2.23), чтобы получить левую часть уравнений. Итак,
Lg = ——— Sp (Y;v YiIi — y? Y;v) • (3.2.13),
Если учесть, что
дІ—g І—g /а о-ixs
-г-т-----==----------;---------------------------------------------------------------------УаЬа (3.2.14)
dVxnl
аЪ И
5Ls = 1_L (Yf„ _ Y;6aP) 6a, (3.2.15)
аЪ; Э
то мы получим при такой подстановке
6Lg Lg У— g р р
------------Vaba---------------(Y;a;P — Y;P;“)ba +
6va 4 4х
1 аЪ
V— Cf
+ —----- (6ae6o,V^ + 6«e6xvg»n + +
SZx
+ &i\e6xvga>a — giving™ — gmgteg**) Vba ‘ SVbxV;*-(3.2.16)
Множитель в круглых скобках перед знаком шпура симметричен по индексам со и Я, так что выражение Y^ycoj е под знаком шпура, антисимметричное по этим индексам, можно отбросить. Символ Кронекера в оставшемся слагаемом приводит выражение в упомянутых круглых скобках к виду 26xvg<*ji. Кроме того, второе слагаемое в (3.2.16), на основании (1.74) [или (1.76)], просто выражается через тензор кривизны Риччи R»». Поэтому
бZST ~ 4~ УаЬа + " ~Roay°a ~ Sp;v 'Yotba- (3-2-17)
^ ab
Сравнивая сумму первого и последнего слагаемых в (3.2.17) с выражением для скалярной кривизны (8.6.33), окончательно находим:
6L., V— g Г 1 Ta
'I^-L5oe “2“'Rgm УЬа' (3'2Л5)
1аЪ
Отсюда и из выражения для Тар (2.4.52) следуют уравнения Эйнштейна
(3.2.12), в которых, однако, теперь следует писать
У S Тцу = SrHaTva = g\ia<lab I “~~Z = YM-ab . (3.2.19)
' * 6Yaab Kb
В силу дважды свернутых тождеств Бианки (1.86) дивергенция левой части уравнений Эйнштейна равна нулю, так что должна обращаться в нуль и дивергенция правой части уравнений:
Г;Г=0. . (3.2.20)
Это совпадает с законом (2.4.50), который выполняется автоматически, но лишь в том случае, когда „лагранжиан Lf зависит непосредственно от ^ixv. В случае (3.2.19) имеет место закон
t^TT-Y1Uoe = о, (3.2.21)
6Yeo6
следующий из (2.4.47). Так как равенство
Yi=O (3.2.22)
может выполняться лишь в плоском мире, то, очевидно, из уравнений Эйнштейна следует условие
6Lf в
YaU = O, (3.2.23)
Kb
которому должен подчиняться лагранжиан Lf. Однако это «противоречие» проявляется не только в законе для дивергенции T7Jav. Заметим, что левая часть уравнений Эйнштейна симметрична по \i и v; значцт, должен быть симметричным и тензор T71XV На основании (3.2.19) это соответствует условию
6Lf 6Lf
Y,iob ~дг~ = yvab Ityr ’ (3.2.24)
' ab ¦ ab
также налагаемому на Lf. Мы вернемся к этим проблемам при рассмотрении фермионных полей (§ 4.5-4.7).
Сравним теперь теории тяготения Эйнштейна и Ньютона, чтобы определить величину эйнштейновской гравитационной постоянной х. В случае
64
всюду слабого поля тензор Римана — Кристоффеля можно записать приближенно как
1
RanvK = (^aA,,jx,V hnv,a,k hav,ii,k — &iU,a,v) , (3.2.25)
где
^fiV = бцу. (3.2.26)
Главная часть метрического тензора Sjiv имеет вид (1.25). Переходя к переменным
1
hnv = Упч ~ У (3*2.27)
представим консервативный тензор Эйнштейна, на основании (3.2.25), в виде
Rnv SlivR ~ “2"[^iiv,ap6aP -f- у,а$ Уу,ац Уц,av]. (3.2.28)
Как показал Гильберт (Гильберт, 1917; см. также Эддингтон, 1934, стр. 233—234; Вебер, 1962, стр. 120), всегда можно с помощью бесконечно малого преобразования координат (что не нарушает предположения о слабости поля) перейти к такой системе, что
г/? = 0. (3.2.29)
Заметим, что для поля произвольной силы это соотношение соответствует условию гармоничности де Дондера — Фока
«У= о, (3.2.30)
которое, конечно, выполняется не всегда, в отличие от условия (3.2.29) для слабого поля; эти два условия связаны друг с другом ввиду соотношения (с точностью до малых первого порядка)
gap = gap __ ^ap (3.2.31)
Из соотношений (3.2.28), (3.2.29) и (3.2.12) следует, что П уHV:=: 2xjT|iv. (3.2.32)
( 62 \
Это — уравнения Эйнштейна для слабого поля = — ба(3 ——у,переходящие в статическом случае в уравнения поля тяготения Ньютона. Для перехода к последним необходимо узнать, какая компонента усоответствует ньютоновскому гравитационному потенциалу ф, что будет сделано в § 3.5.
