Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, как легко проверить, классические скобки Пуассона в теории поля обладают следующими алгебраическими свойствами: антисимметрией, о которой уже говорилось,
Эти свойства будут полезны при формулировке основ вторичного квантования полей.
Заметим теперь, что уравнения Гамильтона (2.6.17) и (2.6.18) следуют из вариационного принципа. Введем для этого интегральный 4-лагранжиан:
и выразим через него интегральный «вектор» энергии-импульса системы как
по каноническим координатам и импульсам, получаем уравнения поля в форме (2.6.17) и (2.6.18).
При выводе уравнений, обобщающих уравнение Гамильтона — Якоби классической механики, следует произвести сдвиг верхнего (во времени) предела области интегрирования в (2.6.54), взяв для удобства эту область в форме гиперцшшндра. После соответствующих выкладок получим
то уравнения (2.6.55) могут бьръ названы полевыми символическими урав-нёййями Гамильтона — Якоби, в которых интегральный гамильтониан Pia рассматривается как функционал А в, AaJ / AA в.
В предлагаемой теории могут быть также определены канойические преобразования для полей (Мицкевич, 1965а). Интересно, что эти преобра-
(F4G) = -{G,F);
(2.6.46)
(2.6.47)
{F,G+H} = {F, G} + {F,H}; {F\ GH) = G{F, H) + {F, G)H; {FH, G}=F{H, G} + {F,G}H;
(2.6.49)
(2.6.48)
{F, {G, H}} + {G, {H, /¦}} + {H, {F, G}} (тождество Якоби); (2.6.50)
(2.6.51)
(2.6.52)
ПВа-4в, pdSa — Zip. Варьируя теперь интеграл действия
(2.6.53)
/ = 5 Zp dx* = I ПВаАв, р dSa dxЭ - $ Pp dxt
(2.6.54)
(2.6.55)
а так как то же варьирование дает
(2.6.56)
зования вполне аналогичны каноническим преобразованиям классической механики (конечно, при введении интегрирования по гиперповерхности). С другой стороны, классическую теорию поля можно рассматривать как «первично-квантованную» (не вторично квантованную!) теорию по сравнению с механикой точек, причем стандартный процесс такого квантования, как известно, приводит к переходу от канонических преобразований классической механики к унитарным преобразованиям квантовой механики (аналогу теории поля с волновой функцией, квадрат которой имеет смысл плотности вероятности, вместо потенциала поля). В теории поля к подобному изменению канонических преобразований приводит вторичное квантование.
В заключение рассмотрим другой способ) введения классических скобок Пуассона, удобный в дальнейшем для проведения вторичного квантования физических полей. Этот способ был предложен Пайерлсом (1952); мы будем говорить здесь не о первоначальной формулировке этого метода, а о$ обобщении его на 4-мерный симметричный подход, которому было посвящено предыдущее изложение.
Исходя из интегрального 4-лагранжиана (2.6.52) и действия в форме (2.6.54), мы рассматриваем плотность возмущенного лагранжиана
I/ = L + ХФ • 6<4> {х, х'), (2.6.57)
тогда интеграл действия будет соответственно возмущен:
/' = / + ЛФ, (2.6.58)
где Ф — некоторая функция канонических координат и импульсов, а X — бесконечно малый параметр, причем нас интересуют в дальнейшем лишь члены* до первого порядка малости включительно. Соответственно возмущению действия должны быть модифицированы уравнения поля и их репге-пия, причем все эти возмущения, можно разлагать по степеням параметра X. Так, в первом порядке мы получим
Ав'(х) = Ав(х) + ШФ А*\х). :(2.6.59)
Из формы возмущённого лагранжиана (2.6.57) видно, что возмущение действует в момент t = ?', так что при использовании запаздывающих решений физическая системі не должна «знать» о возмущении до этого момента (пригодны старые решения). Выражаясь на релятивистском языке, функция 1>фАв(х) должна обращаться в нуль вне светового конуса с вершиной в точке х\ уходящего в будущее. Подобным же образом можно рассматривать и опережающие решения
Ав (х) = Ав (х) + ШфAb (р), (2.6.60)
где функция (1фАв(х) равна нулю вне светового конуса с вершиной в точке х\ уходящего в прошлое. Можно было бы ввести и «размазанные» во времени возмущения, взяв в качестве Ф в сотношении (2.6.58) не функцию, а интеграл который не должен включать бесконечно удаленные во времени (й прошлом и в будущем) области. Тогда вместо светового конуса следовало бы рассмотреть стремление к ± оо гиперповерхностей, аналогичных этому конусу, а вместо точного равенства нулю можно было бы взять стремление к нулю в пределе.
Если теперь вместо Ap рассматривать какую-либо функцию полевых переменных, то и ее изменение можно записать в виде
4" = ?'+ MVF (2.6.61)
1 Подчеркнем, что здесь бралась функция, а не функционал канонических координат и импульсов даже в выражении для интеграла действия, согласно подходу, предложенному Пайерлсом.
57
б первом случае и
T' = Y + ШфТ (2.6.62)
— во втором. Пайерлс предложил определить скобки Пуассона через эти изменения функций как
Т}=ВФТа— аД\ (2.6.63)
Действительно, изменение интегрального гамильтониана при возмущении равно
APp = —Я 5 Ф6(4)(я,я')й5р. (2.6.64)
Если теперь разбить 4-мерную б-функцию на ковариантную (многокомпонентную) 3-мерную и (временно-подобную) одномерную в соответствии с формулой