Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что благодаря таким простым трансформационным свойствам U, M и N из них легко построить истинно тензорные величины, пользуясь символом Кристоффеля и его производной:
иo-f^g = и“ + M“Т г“ - N(+ Гаг Ге“е - Геа) (2.5.14>
= мГ + ЇЧГРГшр - 2N“Tp Гар, (2.5.15)
«“ТРУ-Ї = NaaTP. (2.5.16)
Эти же ИСТИННО тензорные величины Uaa1 т“т и нетрудно получить
непосредственно с помощью теоремы Нётер, если, начиная с соотношения
47
(2.4.20), заменить в ней частные производные ^ на ковариантные (производя симметризацию при повторном дифференцировании). Однако в этом случае мы не получим уже точных (аффинных) законов сохранения для новых величин (Мицкевич, 19646, 19656).
Если теперь, согласно III требованию Мёллера, рассмотреть поведение i0a при чисто пространственных преобразованиях координат (2.5.1), мы лолучим из (2.5.13)
т. е. закон преобразования векторной плотности, что и требовалось показать, так как дх® / дх'° = 6оа при этих преобразованиях координат. Итак, требование III выполняется автоматически вследствие инвариантности лагранжиана (причина парадокса Бауэра состояла в том, что эйнштейновское выражение для энергии-импульса следовало из неинвариантного лагранжиана гравитации).
Любопытно отметить, что и величина Ма° ведет себя при чисто пространственных преобразованиях (2.5.1) как векторная плотность. Следует, однако, сделать ту оговорку, что «чисто пространственные» преобразования координат не исчерпывают всех преобразований, которые не выводят за рамки исходной системы отсчета. Самые общие преобразования такого рода будут рассмотрены нами позднее и связаны с формализмом хронометрических инвариантов Зелъманова.
Исследуя законы преобразования «вектора» Pa с точки зрения удаленного от физической системы наблюдателя, т. е. ^a языке частной теории относительности, следует различать две возможности преобразований. Первая — это просто преобразования координат, когда гиперповерхность, но которой производится интегрирование (2.5.2), остается прежней. Если удаленный наблюдатель взял в качестве такой гиперповерхности гиперплоскость (следуя традициям частной теории относительности), фиксирующую в данной исходной системе отсчета момент времени, то в новой системе координат, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой (новая система отсчета!), он должен взять новую гиперповерхность (гиперплоскость), поскольку его представления об одновременности, конечно, изменились. Гиперплоскость же, по которой производится интегрирование, пока осталась прежней, так как одного лишь перехода к новой системе координат для ее изменения недосхаточно (изменилось всего лишь только ее описание). Поэтому естественно обратиться ко второй возможности, когда одновременно с преобразованием Лоренца удаленный наблюдатель переходит еще и к интегрированию по новой гиперплоскости, отвечающей его новым представлениям об одновременности. Это должно, конечно, иметь место и в частной теории относительности. Такая альтернатива была замечена Шмутцером (1964), который, однако, предпочел первый вариант, по-видимому, из технических соображений. Интересно, что Мёллер высказал свое требование IV именно в смысле второй возможности (комбинированного преобразования). На самом деле он пользуется типично трехмерной записью интегрального выражения Pg типа С в равенстве (2.3.14), отрывая dV от остальных компонент dSa• Ho основании требования I (свойство аффинной тензорной плотности) и при учете преобразования dSa трансформационный закон для интегрального «вектора» энергии-импульса при линейных преобразованиях (в частности, при преобразованиях Лоренца) имеет вид
(2.5.17)
(2.5.18)
48
Здесь берется именно преобразование координат, но гиперповерхность интегрирования осталась прежней. Сравним этот результат с интегралом по новой гиперповерхности (новый выбор «одновременности»), снабженным дополнительным коэффициентом в целях удобства:
дхх дхх с
(2-И9)
Получим
дхх дхх ? дхх с и
{Р°'и'~Тх'^РхЪ = ~д7^ = (2.5-20)
Q
Так как гиперповерхность интегрирования уходит в пространственную бесконечность, где поля отсутствуют по предположению об островной модели вселенной, для которой формулируется требование IV, мы дополнили гиперповерхность интегрирования боковыми сторонами, переопределили направление нормалей и применили теорему Гаусса. Это можно было сделать только при том условии, что интеграл по «боковой» гиперповерхности (которая теперь имеет пространственно-подобную нормаль!) при уходе этой гиперповерхности на пространственную бесконечность стремится к нулю, что и составляет содержание IV требования Мёллера. Теперь, ввиду требования II, (дифференциальный закон сохранения, полученный из теоремы Нётер), следует заключить, что
(2.5.21)
т. е. требование IV выполнено.
Итак, если требования I и II определяют необходимые дифференциальные свойства сохраняющихся величин типа плотности энергии-импульса, то требование III гарантирует неизменность энергии при чисто пространственных преобразованиях (уже в интегральной форме), а требование IV связывает законы преобразования интегральной энергии при преобразованиях Лоренца с требованием пересмотра одновременности при этих преобразованиях, так как речь идет не о локальной, а об интегральной величине. Требование V равносильно постулированию принципа эквивалентности Галилея — Этвёша — Эйнштейна.
