Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В форме (3.3.40) решение Шварцшильда всегда сохраняет время и пространство описываемыми одними и теми же переменными; однако выясняется одно не менее удивительное, чем в предыдущем случае, обстоятельство относительно топологии (связности) мира. Производя преобразование «выворачивания» вселенной
г" =C2/г, (3.3.50)
мы приходим опять к той же самой метрике (3.3.40), т. е. внутренняя область особой сферы в этом случае оказывается точно такой же, как и внешняя по отношению к ней область. Такую симметрию удобно продемонст-рировать еще и таким образом. Возьмем окружность координатного 2 (не
1 Cm., например, Финкелынтейн (1958), Крускал (1960|), Новиков (1962), Галкин (1963), Фронсдаль (1959).
2 ьНапом^им, что г — лишь радиальная координата, но отнюдь не физическое расстоя-
ние от? начала координат.
71
инвариантного!) радиуса г с центром в начале координат.* Инвариантный элемент ее дуги равен
причем dt = 0, dr = 0 и d0 = 0 (взята «экваториальная» окружность
0 = п / 2). Поэтому
При больших г с ростом г растет и Л, стремясь к бесконечности при г -*¦ оо как 2яг (по закону, асимптотически совпадающему с законом для плоского пространства)* При малых г и г->0 вновь оо (!). Иначе говоря, при стягивании окружности к «точке» г = О ее длина неограниченно возрастает, и притом точно так же, как при г->- оо. Действительно, воспользовавшись преобразованием (3.3.50), переводящим г = оо в г = О и г = О в г = оо, получим
т. е. обнаружим форм-инвариантностъ 1K относительно такого преобразования! Итак, внутри сферы г = С заключается такой же обширный и вообще во всех отношениях такой же мир, как и вне этой сферы, а на их границе существует перемычка конечного размера, так как минимальная длина нашей окружности равна
(окружность эта в принципе не может быть стянута в настоящую точку!).
Лучше всего можно использовать указанные своеобразные свойства метрики Шварцшильда, введя новые координаты; при этом новая «радиальная» переменная р принимает значения от —оо до +оо и обращается в нуль на прежней «особой сфере»; разрешим там преобразования координат, не сохраняющие непрерывными высшие производные старых координат по новым. Такая непрерывность для предлагаемого преобразования имеет место во всех прочих точках пространства. Действительно, взяв
а квадрат интервала примет одинаковый для р > О и р < О вид:
dX = У-is2,
(3.3.51)
(3.3.52)
Полная длина этой окружности (от <р — О до <р = 2л) равна
(3.3.53)
(3.3.54)
(3.3.55)
P =
(3.3.56)
при г CC,
получим
dr при г>С,
ip= с»
— dr при г < С,
(3.3.57)
267 \4
При р = 0 (г = С) оба варианта (р > 0 и р < 0) сшиваются. Конечно, «точка» р = 0 при этом не становится истинной точкой в топологическом смысле, т. е. в ней окружность не стягивается в нуль. Для полной симметрии можно себе также представить совмещение +оо и ~оо в новых координатах, что, впрочем, ничего не меняет. Возможно, что новые координаты t, р, 0 и <р лучше отражают физическую (геометрическую) ситуацию, чем использовавшиеся ранее.
Перейдем к важному вопросу об источнике поля Шварцшильда. Нам нужно исследовать вопрос о том, какая особенность присутствует в правой части уравнений Эйнштейна и соответствует особенности в выражении (3.3.27). Для этого вспомним уравнение в форме (3.3.18). Если не отбрасывать его правую часть, то вместо уравнения (3.3.24) следует писать
AR - =Y Гі0°е~2н’ (3- 3*59)
а после подстановки (3.3.25) —
Да =O5T1fO0. (3.3.60)
4
Используя полученное решение (3.3.28), без труда находим
m л 16яС 1(6пС б (г) о п.х
Tto0 = —г- S (О = ------ ----Чгг,- (3.3.61)
* (*+т)
Итак, источники гравитационного поля в случае решения Шварцшильда не равны нулю всюду: в начале координат имеется особенность. Эта особенность приведена здесь в виде, не согласующемся с нашими выводами
о топологических свойствах решения Шварцшильда, так как она не инвариантна относительно преобразования «выворачивания» (3.3.50). Однако ее можно до некоторой степени исправить, имея в виду, что наличие в тензоре (3.3.61) б-функции фиксирует лишь величину множителя при этой функции в точке ее особенности.
3.4* Решение Фридмана. Расширяющаяся Вселенная
В предыдущем параграфе было получено уравнение (3.3.18), эквивалентное уравнениям Эйнштейна, записанным для специального случая, когда метрический тензор всюду диагонален. Таким образом, это уравнение пригодно для отыскания и других решений, кроме шварцшильдовско-го. Именно, одно из важнейших космологических решений — решение Фридмана (1922) может быть очень просто получено из уравнения (3.3.18).
В пространстве — времени Фридмана метрика конформно псевдоэвкли-дова. Это значит, что интервал может быть записан как
ds2 = G2(x) (di2 - ей2), (3.4.1)
так что
gw = G*(x)ev 6*Л (3.4.2)
Если предположить, что пространство—время однородно, то форма (3.4.1) показывает, что функция G (х) должна быть форм-инвариантна относительно преобразований, оставляющих форм-инвариантным интервал псев-доэвклидова мира в декартовых координатах, которому конформна наша метрика; эти преобразования являются лоренцовыми в таком псевдоэвкли-
